AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
matrice élémentaire
Une matrice élémentaire est une matrice obtenue à partir de la matrice identité Iₙ par l'application d'une seule opération élémentaire sur les lignes. Il existe trois types d'opérations élémentaires : la multiplication de toutes les entrées d'une ligne par un scalaire non nul, la permutation de deux lignes, et l'ajout du multiple d'une ligne à une autre ligne. Multiplier une matrice M à gauche par une matrice élémentaire E revient à effectuer l'opération élémentaire correspondante sur les lignes de M. Les matrices élémentaires sont toutes inversibles et leur produit engendre l'ensemble des matrices inversibles ; elles interviennent notamment dans la décomposition LU et dans les algorithmes de réduction matricielle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les trois types de matrices élémentaires.
- Construire une matrice élémentaire depuis l’identité.
- Calculer et contrôler son effet sur les lignes par multiplication à gauche.
- Éviter les confusions avec une matrice unité ou une matrice inversible quelconque.
En clair
Imaginez la matrice identité comme un point de départ qui laisse les nombres inchangés. On modifie une seule de ses lignes : on l’échange, on la multiplie par un nombre non nul ou on lui ajoute un multiple d’une autre ligne. La matrice obtenue garde la mémoire de ce geste.
Placée à gauche d’une autre matrice dans un produit, elle lui applique exactement la même opération sur ses lignes. Une matrice élémentaire transforme donc un calcul de lignes en une multiplication matricielle réversible.
Définition
Soit un entier n au moins égal à 1 et soit In la matrice identité carrée de taille n, à coefficients dans un corps de scalaires. Une matrice élémentaire E est le résultat d’une unique opération élémentaire appliquée aux lignes de In. Cette opération est soit l’échange de deux lignes, soit la multiplication d’une ligne par un scalaire non nul, soit l’ajout à une ligne d’un multiple d’une autre ligne. Une définition équivalente peut employer les colonnes.
Pour toute matrice M possédant n lignes, si E est construite par une opération sur les lignes, le produit E M effectue cette opération sur les lignes de M. Pour toute matrice M possédant n colonnes, si E est construite selon la convention sur les colonnes, le produit M E effectue l’opération correspondante sur les colonnes de M. Le côté du produit fait donc partie de la règle.
Toute matrice élémentaire est inversible : l’échange s’annule par le même échange, une multiplication par un scalaire s’annule par son inverse, et un ajout de multiple s’annule en ajoutant le multiple opposé. Sur un corps, toute matrice carrée inversible est un produit fini de matrices élémentaires, même si ce produit n’est généralement pas lui-même élémentaire.
De quoi c'est fait
Quatre données décrivent la construction. La taille n fixe la matrice identité de départ. La ligne cible indique celle qui sera échangée, multipliée ou modifiée par addition. Une seconde ligne est nécessaire pour un échange ou un ajout. Enfin, le scalaire donne le facteur de multiplication ou le multiple ajouté ; il doit être non nul lorsqu’il multiplie toute une ligne.
Le choix de l’opération détermine la forme de E et celui de la ligne cible détermine où ses coefficients diffèrent de ceux de In. Ces données suffisent à construire E, puis à prévoir l’effet de E M sans refaire tout le produit. Dans l’exemple conducteur, la taille vaut 2 et la seconde ligne reçoit −3 fois la première. La figure matérialise cette dépendance entre opération et produit.
Un exemple, pas à pas
Données. La matrice M a deux lignes : la première contient 1 et 2, la seconde 3 et 5. L’opération choisie remplace la seconde ligne par elle-même moins trois fois la première.
1. Partez de la matrice identité de taille 2 et appliquez-lui cette opération. Vous obtenez la matrice élémentaire E :
2. Multipliez M à gauche par E. La première ligne reste (1, 2). La seconde devient (3, 5) − 3(1, 2), soit (0, −1).
3. Contrôlez le résultat en annulant l’opération : ajoutez trois fois la première ligne à la seconde. On retrouve (3, 5). La matrice de cette opération inverse est obtenue en remplaçant −3 par 3.
En pratique
Dans l’élimination de Gauss, chaque étape d’annulation d’un coefficient peut être enregistrée par une matrice élémentaire. Dans l’exemple, E crée le zéro sous le premier coefficient de M. Le calcul direct sur les lignes reste préférable si seul le résultat réduit est recherché.
Pour inverser une matrice, on peut mémoriser la suite des opérations qui transforme la matrice en identité. Les opérations inverses, prises dans l’ordre opposé, reconstruisent alors son inverse. Si la réduction fait apparaître une ligne nulle avant d’atteindre l’identité, la matrice n’est pas inversible.
Dans une décomposition LU, les ajouts de multiples de lignes utilisés pour éliminer les coefficients sont rassemblés sous forme matricielle. Une permutation exige toutefois de garder aussi la trace des échanges de lignes, au lieu de supposer qu’une décomposition sans pivot convient toujours.
À ne pas confondre
Une opération élémentaire est une action sur des lignes ou des colonnes ; une matrice élémentaire est la matrice obtenue en appliquant une telle action à l’identité. Dans l’exemple, L2 ← L2 − 3L1 est l’action, tandis que E en est l’encodage matriciel.
Une matrice unité Eij, qui ne contient qu’un coefficient 1 en position (i, j), n’est en général pas une matrice élémentaire. Pour une taille supérieure à 1, elle possède des lignes nulles et n’est donc pas inversible. Le critère décisif est l’obtention depuis In par une seule opération élémentaire.
Une matrice inversible quelconque n’est pas nécessairement élémentaire. Elle peut demander plusieurs opérations pour être obtenue depuis l’identité. Une seule opération suffit pour E ; plusieurs facteurs élémentaires peuvent être nécessaires pour une matrice inversible générale.
Limites et pièges
Multiplier une ligne par 0 n’est pas une opération élémentaire inversible. Le symptôme est une ligne nulle, qui empêche de revenir à l’identité. Le facteur doit donc être un scalaire non nul. En taille 1, c’est le seul type non trivial disponible : ni échange ni ajout entre deux lignes distinctes n’est possible.
Le côté de la multiplication ne peut pas être ignoré. E M agit sur les lignes de M, tandis qu’une multiplication à droite encode une action sur les colonnes selon la convention utilisée. Si les dimensions ne sont pas compatibles, le produit n’est même pas défini ; il faut choisir une matrice élémentaire de la taille appropriée.
Un produit de deux matrices élémentaires reste inversible, mais il ne résulte généralement pas d’une seule opération. Il ne faut donc pas appeler automatiquement ce produit « matrice élémentaire ». Pour décrire plusieurs gestes, on conserve la factorisation ordonnée, car inverser l’ensemble oblige à inverser aussi l’ordre des facteurs.
Pour aller plus loin
La fiche matrice inverse prolonge le contrôle de l’exemple : elle précise ce que signifie annuler une transformation matricielle.
La fiche LU (décomposition) montre comment les opérations d’élimination s’organisent en facteurs triangulaires pour résoudre des systèmes linéaires.
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