méthode de Gauss-Jordan

Prenez deux lignes de nombres. Vous pouvez les échanger, multiplier toute une ligne par un nombre non nul ou ajouter à une ligne un multiple de l’autre. Chaque geste conserve les solutions du système représenté.

Gauss-Jordan enchaîne ces gestes jusqu’à isoler un pivot 1 dans chaque colonne utile et des zéros partout ailleurs dans ces colonnes. Les inconnues se lisent alors directement. En plaçant la matrice identité à côté d’une matrice carrée inversible, les mêmes gestes font apparaître son inverse.

La méthode de Gauss-Jordan est un algorithme de réduction par lignes. Elle transforme une matrice en forme échelonnée réduite au moyen de trois opérations élémentaires : échanger deux lignes, multiplier une ligne par un scalaire non nul, ou ajouter à une ligne un multiple d’une autre. Ces opérations sont réversibles et préservent l’ensemble des solutions d’un système linéaire.

Dans la forme finale, chaque ligne non nulle possède un premier coefficient non nul appelé pivot. Chaque pivot vaut 1, il est l’unique coefficient non nul de sa colonne, et les pivots se décalent vers la droite en descendant. Cette forme est unique pour une matrice donnée, même si plusieurs suites d’opérations peuvent y conduire.

Pour une matrice carrée A de taille n, on accole la matrice identité I_n et l’on réduit les deux moitiés ensemble. Si A est inversible, le calcul aboutit à $[A\mid I_n]⟶[I_n\mid A^{-1}][A\backslash mid\; I\_n]\backslash longrightarrow[I\_n\backslash mid\; A^\{-1\}]$. Si la partie gauche ne peut pas devenir I_n, A n’est pas inversible ; aucune inverse ne peut être lue à droite.

Sur la matrice augmentée, cherchez dans la colonne courante de la partie des coefficients une entrée non nulle parmi les lignes restantes, puis placez-la sur la ligne courante par un échange si nécessaire. Si cette colonne ne contient aucune telle entrée, passez à la colonne suivante sans changer de ligne. Multipliez la ligne choisie pour ramener le pivot à 1. Ajoutez ensuite des multiples de la ligne pivot à toutes les autres lignes afin d’annuler les coefficients situés au-dessus et au-dessous du pivot. Recommencez dans les colonnes suivantes et les lignes restantes. Le calcul s’arrête lorsque chaque colonne pivot contient un 1 et seulement des zéros ailleurs : la matrice est alors sous forme échelonnée réduite.

La réduction de Gauss-Jordan s’applique à toute matrice à coefficients dans un corps, par exemple les nombres réels ou rationnels. Il faut effectuer chaque opération sur la ligne entière de la matrice augmentée. Un pivot choisi doit être non nul ; s’il vaut zéro, on cherche une ligne inférieure portant un coefficient non nul dans la même colonne et on échange les lignes.

Le calcul d’une inverse exige en plus une matrice carrée de rang plein. Par exemple, pour , la seconde ligne est le double de la première. La réduction produit une ligne nulle à gauche : A ne peut pas devenir la matrice identité et n’a pas d’inverse. On peut toutefois conserver la réduction pour décrire les solutions éventuelles du système.

Données. On considère la matrice , la matrice identité I₂ et le vecteur colonne b dont les coordonnées sont 5 et 3. On cherche A⁻¹, puis la solution du système Ax = b.

1. On forme la matrice augmentée , puis on échange les deux lignes pour obtenir immédiatement un premier pivot égal à 1.

2. La première ligne vaut maintenant (1, 1 | 0, 1). On remplace la seconde ligne L₂ par L₂ − 2L₁. Elle devient (0, −1 | 1, −2).

3. On multiplie L₂ par −1, ce qui donne (0, 1 | −1, 2). Puis on remplace L₁ par L₁ − L₂. Le résultat est .

Résultat. La moitié gauche est I₂, donc . En multipliant cette inverse par b, on obtient le vecteur x de coordonnées 2 et 1.

Contrôle. Le produit AA⁻¹ vaut I₂. De plus, la matrice A multipliée par le vecteur de coordonnées 2 et 1 donne bien (5, 3). La succession des quatre matrices augmentées permet de vérifier chaque opération de ligne.

Pour résoudre simultanément plusieurs équations linéaires, Gauss-Jordan donne une forme finale où les variables pivots se lisent directement et où les variables libres apparaissent clairement. Si une simple remontée dans un système triangulaire suffit, la méthode de Gauss demande moins d’opérations.

Pour calculer l’inverse d’une petite matrice carrée, on réduit [A | I] et l’on contrôle ensuite le résultat par le produit AA⁻¹. Si une ligne nulle empêche la partie gauche de devenir l’identité, il faut conclure que l’inverse n’existe pas.

Pour déterminer le rang ou décrire toutes les solutions d’un système, on compte les pivots et on repère les colonnes sans pivot. Avec de grandes matrices numériques, une factorisation adaptée et un pivotage soigneux sont généralement préférables afin de limiter le coût et les erreurs d’arrondi.

Avec la méthode de Gauss. Gauss annule les coefficients sous les pivots et s’arrête à une forme échelonnée, souvent triangulaire dans le cas carré de rang plein. Gauss-Jordan normalise aussi les pivots et annule les coefficients au-dessus. Si une remontée est encore nécessaire, la réduction n’est pas encore celle de Gauss-Jordan.

Avec la diagonalisation. Gauss-Jordan agit par opérations sur les lignes et préserve les solutions d’un système ; la matrice réduite n’a généralement pas les mêmes valeurs propres. La diagonalisation cherche au contraire une matrice semblable de la forme P⁻¹AP. Obtenir l’identité par réduction ne signifie donc pas que l’on a trouvé les valeurs propres de A.

Avec la formule par le déterminant et la comatrice. Les deux procédures peuvent calculer une inverse lorsque le déterminant est non nul. Gauss-Jordan transforme [A | I] ligne par ligne ; la formule de la comatrice construit l’inverse à partir de mineurs. La présence d’une matrice augmentée signale la première approche.

Pivot nul mais colonne utilisable. Un zéro à la place du pivot n’arrête pas le calcul si une ligne inférieure porte un coefficient non nul dans cette colonne. Il faut échanger les lignes, jamais diviser par zéro.

Matrice singulière. Si le nombre de pivots est inférieur à la taille n de la matrice carrée, la partie gauche de [A | I_n] ne deviendra pas I_n. La partie droite obtenue n’est pas une inverse : il faut conclure à la non-inversibilité.

Système incompatible. Une ligne réduite dont tous les coefficients des inconnues sont nuls mais dont le second membre est non nul, par exemple 0 = 1, prouve qu’il n’existe aucune solution. Une colonne sans pivot ne signifie pas la même chose : elle peut signaler une variable libre et une infinité de solutions.

Calcul approché. Avec des nombres flottants, diviser par un pivot très petit amplifie les erreurs d’arrondi. On choisit alors, dans la colonne courante, une ligne portant un coefficient de plus grande valeur absolue : ce pivotage partiel améliore la stabilité sans supprimer toute sensibilité d’une matrice mal conditionnée.

méthode de Gauss — Compare l’arrêt à la forme échelonnée avec la réduction complète de Gauss-Jordan.

matrice inverse — Replace le calcul par matrice augmentée parmi les propriétés et usages d’une inverse.