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Augmentée (matrice)
La matrice augmentée d'un système linéaire Ax = b est la matrice obtenue en adjoignant la colonne du second membre b à la matrice des coefficients A. Si A est une matrice m×n et b un vecteur de taille m, la matrice augmentée est une matrice m×(n+1) notée (A|b). Elle est utilisée dans la méthode du pivot de Gauss pour résoudre les systèmes linéaires. Le théorème de Rouché-Capelli affirme qu'un système est compatible si et seulement si le rang de A est égal au rang de la matrice augmentée.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire une matrice augmentée à partir des coefficients et des seconds membres.
- Suivre une opération de pivot et retrouver la solution d'un système de deux équations.
- Tester la compatibilité et distinguer existence, unicité et infinité de solutions par les rangs.
- Reconnaître une ligne contradictoire et les précautions propres au calcul approché.
En clair
Dans le système x + y = 5 et 2x − y = 1, les nombres placés devant x et y forment deux colonnes. Les résultats 5 et 1 en forment une troisième. En accolant cette colonne aux deux premières, on obtient la matrice augmentée.
Cette présentation garde chaque équation sur une ligne et sépare visuellement les coefficients du second membre. On peut alors transformer les lignes sans recopier x et y à chaque étape.
Définition
Sur un corps de nombres noté K, par exemple les réels, un système de m équations linéaires à n inconnues s'écrit sous forme matricielle. La matrice A rassemble les coefficients, le vecteur colonne x les inconnues et le vecteur colonne b les seconds membres :
La matrice augmentée, notée (A | b), conserve les m lignes et possède n + 1 colonnes : les n colonnes de A, puis la colonne b. La barre verticale est un repère visuel ; elle ne constitue pas une opération algébrique.
Les opérations élémentaires sur les lignes transforment (A | b) en une matrice échelonnée tout en conservant l'ensemble des solutions. Le théorème de Rouché-Capelli donne le critère de compatibilité : le système admet au moins une solution exactement lorsque le rang de A est égal au rang de (A | b). Si ce rang commun vaut n, la solution est unique ; s'il est strictement inférieur à n, il existe plusieurs solutions sur un corps infini.
De quoi c'est fait
Une matrice augmentée réunit cinq éléments lisibles. Chaque ligne encode une équation. Les n premières colonnes correspondent, dans un ordre fixé, aux n inconnues. Le bloc formé par ces colonnes est la matrice des coefficients A. La dernière colonne est le vecteur des seconds membres b ; une barre la sépare souvent de A.
Le nombre de lignes de A doit donc être la taille de b, car chaque second membre complète une équation. L'ordre des colonnes dépend directement de l'ordre choisi pour les inconnues : l'échanger sans modifier l'interprétation change le système lu. Ces données suffisent à reconstruire le système et à appliquer l'élimination de Gauss. La barre et l'espacement facilitent la lecture, mais ne définissent pas les valeurs de la matrice.
Un exemple, pas à pas
On cherche les nombres x et y qui vérifient simultanément x + y = 5 et 2x − y = 1. Les coefficients de la première équation sont 1 et 1 ; ceux de la seconde sont 2 et −1. Les seconds membres sont 5 et 1.
1. On range ces données dans la matrice augmentée :
2. On remplace la deuxième ligne par elle-même moins deux fois la première. Cette opération donne :
3. La seconde ligne signifie −3y = −9, donc y = 3. La première signifie alors x + 3 = 5, d'où x = 2.
4. Le contrôle se fait dans les deux équations initiales : 2 + 3 = 5 et 2 × 2 − 3 = 1. Les deux égalités sont vérifiées, donc le couple solution est (2, 3).
La transformation conserve les deux colonnes de coefficients et la colonne des seconds membres dans une même ligne de calcul.
En pratique
Pour résoudre un petit système exact à la main, la matrice augmentée allège l'écriture du pivot de Gauss. On préfère la substitution lorsqu'une inconnue est déjà isolée, car elle demande alors moins d'opérations.
Pour tester si plusieurs équations peuvent être satisfaites ensemble, on échelonne la matrice. Une ligne dont tous les coefficients sont nuls mais dont le second membre ne l'est pas signale immédiatement une incompatibilité.
Dans un calcul informatique, la matrice augmentée est une représentation commode pour enseigner et afficher l'élimination. Pour de grands systèmes numériques, on emploie plutôt des algorithmes avec choix de pivot ou des factorisations, afin de mieux maîtriser les erreurs d'arrondi et de réutiliser A avec plusieurs seconds membres.
À ne pas confondre
Matrice des coefficients. La matrice A contient seulement les coefficients des inconnues. La matrice augmentée (A | b) contient en plus les seconds membres. Pour le système conducteur, A a deux colonnes, tandis que (A | b) en a trois.
Matrice échelonnée. « Augmentée » décrit les données rassemblées ; « échelonnée » décrit la forme obtenue après des opérations sur les lignes. Une matrice augmentée peut ne pas être échelonnée, comme la matrice initiale de l'exemple.
Matrice bordée. Une matrice bordée s'obtient en ajoutant une ou plusieurs lignes ou colonnes pour une construction matricielle générale. Une matrice augmentée ajoute précisément le second membre d'un système à sa matrice de coefficients.
Limites et pièges
Tailles incompatibles. Si A possède m lignes mais que b n'a pas m composantes, l'accolement (A | b) n'est pas défini. Il faut d'abord rétablir un second membre par équation.
Ligne contradictoire. Après échelonnement, une ligne de la forme 0x + 0y = c avec c non nul rend le système incompatible. Par exemple, les lignes (1, 1 | 2) et (2, 2 | 5) conduisent à 0 = 1 : le rang de la matrice augmentée dépasse celui de A.
Compatibilité sans unicité. L'égalité des deux rangs garantit l'existence d'une solution, pas son unicité. Avec n inconnues, un rang commun strictement inférieur à n laisse des inconnues libres ; sur les réels, cela produit une infinité de solutions.
Calcul approché. Avec des coefficients flottants, un nombre très petit n'est pas automatiquement nul. Il faut choisir les pivots et interpréter le rang avec une tolérance adaptée à la précision des données, plutôt que conclure à partir d'une égalité numérique exacte.
Pour aller plus loin
Le rang relie la matrice augmentée à la géométrie des solutions. Lorsque les rangs de A et de (A | b) sont égaux, les solutions forment, si elles existent, un sous-espace affine dirigé par le noyau de A. Sa dimension vaut n moins le rang de A.
Cette lecture explique les trois issues du pivot de Gauss : aucun point lorsque les rangs diffèrent, un point lorsque le rang commun vaut le nombre d'inconnues, et plusieurs points lorsque le rang commun est plus petit. Elle ouvre aussi sur les factorisations matricielles, utiles quand la même matrice A intervient avec plusieurs seconds membres.
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