matrice échelonnée

Imaginez un rectangle de nombres que l'on range ligne après ligne. Le premier 1 de chaque ligne non nulle se décale vers la droite, comme les marches d'un escalier. Sous et au-dessus de chacun de ces 1, la colonne ne contient que des zéros. Les éventuelles lignes entièrement nulles sont repoussées en bas.

Ces 1 repères sont les pivots. Leur disposition rend visibles les informations utiles d'un système linéaire, notamment son rang et ses inconnues déterminées ou libres.

Une matrice à n lignes et m colonnes est échelonnée en lignes, au sens réduit retenu ici, quand ses lignes non nulles forment une succession de pivots. Le pivot d'une ligne est son premier coefficient non nul en partant de la gauche.

Toute ligne nulle vient après les lignes non nulles. Chaque pivot vaut 1. En descendant d'une ligne non nulle à la suivante, le pivot se trouve strictement plus à droite. Enfin, chaque pivot est le seul coefficient non nul de sa colonne. Ces quatre conditions décrivent une forme échelonnée réduite en lignes.

La méthode de Gauss-Jordan atteint cette forme par des opérations sur les lignes. Elle aide à résoudre un système linéaire, à compter les pivots pour obtenir le rang et à déterminer des bases d'espaces vectoriels. Une forme échelonnée en colonnes s'obtient par la définition symétrique : les lignes et les colonnes échangent leurs rôles.

La structure repose sur cinq éléments. Les lignes non nulles portent les pivots ; les lignes nulles, si elles existent, sont regroupées en bas. Dans chaque ligne non nulle, le pivot est le premier coefficient non nul et vaut 1. Les colonnes de pivot contiennent des zéros partout ailleurs. Les coefficients situés dans les colonnes sans pivot peuvent rester non nuls.

L'ordre des lignes impose le dessin en escalier : la position d'un pivot dépend de celle du pivot précédent. La colonne d'un pivot dépend à son tour de ce choix, puisqu'elle doit être nulle hors du pivot. Ces données suffisent à repérer les variables principales d'un système et à compter le rang.

Considérons trois inconnues, nommées x, y et z, et le système suivant. Sa matrice augmentée comporte trois lignes et quatre colonnes.

1. On retranche deux fois la première ligne à la deuxième, puis on ajoute la première ligne à la troisième.

2. On retranche trois fois la troisième ligne à la deuxième, puis on ajoute la troisième ligne à la première. On retranche enfin deux fois la deuxième ligne ainsi obtenue à la première.

Les trois pivots forment l'escalier et donnent la solution x = −4, y = 3 et z = 1. Le contrôle est direct : les trois membres de gauche valent respectivement 1, 8 et 0.

Pour résoudre un système linéaire, on réduit sa matrice augmentée. Les pivots des colonnes d'inconnues repèrent les variables principales. Si le système est compatible, les colonnes d'inconnues sans pivot correspondent à des variables libres ; un pivot dans la colonne augmentée rend le système incompatible, donc sans solution. La substitution peut être plus courte sur un petit système déjà triangulaire.

Pour calculer le rang, on compte les pivots après réduction. Sur une matrice carrée, un déterminant non nul suffit aussi à conclure que le rang est maximal ; l'échelonnement reste applicable aux matrices rectangulaires.

Pour déterminer une base liée aux colonnes d'une matrice, on repère les colonnes de pivot après réduction, puis on sélectionne les colonnes correspondantes dans la matrice d'origine. Les colonnes de la forme réduite ne remplacent pas automatiquement les colonnes initiales.

Une forme échelonnée simple impose l'escalier des pivots et les zéros sous eux, mais elle peut conserver des coefficients au-dessus des pivots. La matrice intermédiaire de l'exemple est échelonnée simple ; seule la dernière est réduite.

Une matrice triangulaire supérieure est carrée et possède des zéros sous sa diagonale principale. Une matrice échelonnée peut être rectangulaire, et ses pivots ne sont pas nécessairement placés sur cette diagonale.

Le mot échelonnée ne désigne pas toujours la forme réduite. Si des coefficients non nuls subsistent au-dessus d'un pivot, la forme est seulement échelonnée selon l'usage courant ; il faut vérifier la convention annoncée.

Une ligne entièrement nulle ne fournit aucun pivot et doit être placée sous toutes les lignes non nulles. Plusieurs lignes nulles n'ajoutent rien au rang : seul le nombre de pivots compte.

Dans une matrice augmentée, un pivot dans la dernière colonne traduit une équation impossible du type 0 = 1. Il ne faut alors pas lire les autres pivots comme une solution : le système est incompatible.

Pour une base de l'espace engendré par les colonnes, les positions de pivot sont l'information utile, mais les vecteurs se prennent dans la matrice d'origine. Les opérations sur les lignes peuvent modifier l'espace engendré par les colonnes.

L'article espace vectoriel replace les bases obtenues par échelonnement dans la structure qu'elles décrivent.

La fiche matrice inverse prolonge la méthode vers un calcul où la réduction de Gauss-Jordan joue un rôle central.