AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
Compatible (système)
Un système d'équations (linéaires ou non) est dit compatible s'il admet au moins une solution. Il est dit incompatible ou inconsistant dans le cas contraire. Pour un système linéaire, le théorème de Rouché-Fontené (ou Rouché-Capelli) précise que le système est compatible si et seulement si le rang de la matrice du système est égal au rang de la matrice augmentée. Un système compatible peut avoir une unique solution (système de Cramer) ou une infinité de solutions.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître qu'un système compatible admet au moins une solution.
- Tester un système linéaire par l'égalité des rangs.
- Distinguer solution unique, infinité de solutions et incompatibilité.
- Vérifier le critère sur un système de deux équations.
En clair
On cherche deux nombres dont la somme vaut 5 et dont la différence vaut 1. Les nombres 3 et 2 satisfont ensemble ces deux demandes : le système est donc compatible. Une seule paire qui fonctionne suffit pour l'affirmer. Si aucune paire ne pouvait respecter toutes les équations à la fois, le système serait incompatible.
Le mot « compatible » renseigne seulement sur l'existence d'une solution. Il ne dit pas encore si cette solution est unique ou s'il en existe une infinité.
Définition
Un système d'équations est compatible lorsque les inconnues peuvent prendre au moins un ensemble de valeurs qui vérifie simultanément toutes les équations. Cette définition vaut pour les systèmes linéaires comme pour les systèmes non linéaires. En l'absence d'un tel ensemble, le système est incompatible, ou inconsistant.
Pour un système linéaire de m équations à n inconnues, sur ℝ ou ℂ, la matrice des coefficients est notée A et la colonne des seconds membres b. La matrice augmentée, notée , juxtapose ces deux données. Le théorème de Rouché-Fontené, aussi appelé théorème de Rouché-Capelli, donne le critère exact : .
Lorsque les deux rangs sont égaux au nombre n d'inconnues, la solution est unique. Pour un système carré, c'est le cas d'un système de Cramer. Lorsque leur valeur commune est strictement inférieure à n, un système compatible possède une infinité de solutions.
De quoi c'est fait
Un système linéaire réunit quatre éléments : des inconnues, des équations, les coefficients qui multiplient les inconnues et les seconds membres placés après les signes d'égalité. Chaque ligne de la matrice des coefficients traduit une équation ; chaque colonne rassemble les coefficients d'une même inconnue.
La colonne des seconds membres complète cette matrice pour former la matrice augmentée. Les opérations élémentaires du pivot de Gauss transforment les lignes sans changer les solutions et rendent leurs rangs lisibles. L'ordre choisi pour écrire les équations ou les inconnues modifie la présentation des matrices, mais pas la compatibilité. Ces données suffisent à tester l'existence d'une solution et, dans le cas compatible, à déterminer si elle est unique ou non.
Un exemple, pas à pas
On cherche deux nombres. Le premier est noté x et le second y.
Donnée 1 : leur somme vaut 5.
Donnée 2 : leur différence vaut 1.
Donnée 1 : leur somme vaut 5.
Donnée 2 : leur différence vaut 1.
1. Le système et sa matrice augmentée s'écrivent :
2. On retranche la première ligne à la seconde :
La seconde ligne donne , donc y vaut 2.
3. En remplaçant y par 2 dans la première équation, on obtient , donc x vaut 3.
4. Les matrices des coefficients et augmentée ont toutes deux le rang 2. Le système est compatible et, comme il possède deux inconnues, sa solution est unique : .
Le contrôle est direct : 3 + 2 = 5 et 3 − 2 = 1. La représentation par deux droites rend aussi visible leur unique point commun, de coordonnées (3 ; 2).
En pratique
Pour deux équations simples, la substitution donne rapidement des valeurs candidates. Le contrôle consiste ensuite à replacer ces valeurs dans toutes les équations : une seule équation vérifiée ne prouve pas la compatibilité.
Quand le système comporte davantage d'équations ou d'inconnues, le pivot de Gauss est préférable à des essais successifs. Une ligne devenue contradictoire signale l'incompatibilité ; sinon, les pivots permettent de lire le rang et de poursuivre la résolution.
Lorsqu'un système linéaire sur ℝ ou ℂ dépend d'un paramètre, le test de compatibilité se fait pour chaque valeur pertinente de ce paramètre. Certaines valeurs peuvent conduire à une solution unique, d'autres à une infinité de solutions ou à aucune.
À ne pas confondre
Compatible et déterminé. « Compatible » signifie qu'au moins une solution existe ; « déterminé » signifie que cette solution est unique. Le système pris seul est compatible sans être déterminé, car plusieurs couples conviennent.
Compatibilité et équivalence. Deux systèmes sont équivalents lorsqu'ils ont exactement le même ensemble de solutions. Le système de l'exemple admet seulement le couple (3 ; 2), tandis que l'unique équation en admet une infinité : tous deux sont compatibles, mais ils ne sont pas équivalents.
Limites et pièges
Le critère des rangs est linéaire. Pour un système non linéaire, la définition par l'existence d'une solution reste valable, mais l'égalité des rangs de la matrice des coefficients et de la matrice augmentée n'est pas le test approprié.
Des rangs égaux ne garantissent pas l'unicité. Sur ℝ ou ℂ, avec n inconnues, un rang commun inférieur à n laisse des inconnues libres et produit une infinité de solutions. L'unicité exige que ce rang commun soit égal à n.
Une contradiction peut apparaître après réduction. Une ligne dont tous les coefficients sont nuls mais dont le second membre ne l'est pas affirme qu'un zéro égale un nombre non nul. Les deux rangs diffèrent alors et le système est incompatible.
Pour aller plus loin
Le critère de compatibilité ouvre sur l'étude complète de l'ensemble des solutions. Pour un système linéaire compatible sur ℝ ou ℂ, la différence entre le nombre d'inconnues et le rang indique le nombre de paramètres libres : zéro paramètre correspond à une solution unique, tandis qu'au moins un paramètre conduit à une infinité de solutions.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres