Rouché-Fontené (théorème de)

Imaginez trois équations qui imposent des contraintes aux mêmes trois nombres. Certaines contraintes peuvent répéter une information déjà donnée ; une autre peut au contraire la contredire. Le rang compte les contraintes réellement indépendantes.

Le théorème de Rouché-Fontené compare ce compte avant et après l'ajout des résultats demandés. Si l'ajout ne crée aucune contrainte indépendante, le système possède des solutions. Les inconnues que les contraintes ne fixent pas deviennent des paramètres libres.

On considère un système linéaire écrit sous la forme Ax = b. La matrice A contient les coefficients des équations, le vecteur x rassemble les n inconnues et le vecteur b contient les seconds membres. La matrice augmentée, notée (A|b), s'obtient en ajoutant b comme dernière colonne de A. Le rang d'une matrice est le nombre maximal de lignes, ou de colonnes, linéairement indépendantes.

Le théorème de Rouché-Fontené affirme que le système possède au moins une solution exactement lorsque A et (A|b) ont le même rang. Si ce rang commun vaut r, l'ensemble des solutions possède n − r paramètres libres. Il est réduit à une solution unique lorsque r = n ; il contient une infinité de solutions lorsque r < n, sur un corps infini tel que ℝ ou ℂ.

Plus précisément, dès qu'une solution particulière x₀ existe, toutes les solutions s'obtiennent en lui ajoutant un vecteur du noyau de l'application linéaire associée à A. La formule structurée est :

Soit A la matrice des coefficients d'un système linéaire à n inconnues, et soit (A|b) sa matrice augmentée par la colonne des seconds membres b. Alors :

Si le rang commun vaut r, les solutions dépendent de n − r paramètres libres. En particulier, une solution compatible est unique si et seulement si r = n.

Le critère s'applique à un nombre fini d'équations linéaires et à un nombre fini n d'inconnues, sur un même corps de scalaires. Il faut former correctement A et (A|b), puis calculer leurs rangs avec les mêmes règles d'échelonnement. La comparaison décide seulement de l'existence ; le nombre n − r de paramètres libres suppose ensuite que le système est compatible.

Un contre-cas apparaît si une réduction donne une ligne de coefficients tous nuls mais un second membre non nul, par exemple 0 = 1. La dernière colonne augmente alors le rang : le système est incompatible. Il ne faut ni compter des paramètres ni chercher une solution particulière ; il faut conclure qu'aucune solution n'existe.

On cherche les réels x, y et z qui vérifient le système suivant. La deuxième équation répète la première :

Voici A, matrice des coefficients, et b, colonne des seconds membres :

1. Échelonner. On remplace la deuxième ligne par la deuxième moins deux fois la première, puis la troisième par la troisième moins la première. La matrice augmentée devient :

2. Comparer les rangs. Les deux lignes non nulles ont des parties coefficients indépendantes. La colonne augmentée ne crée pas de pivot supplémentaire. Ainsi, rang(A) = rang(A|b) = 2 : le système est compatible.

Deux pivots apparaissent, dans les colonnes de x et de y, tandis que z reste libre.

3. Compter les libertés. Il y a n = 3 inconnues et r = 2 pivots, donc n − r = 1 paramètre libre. On pose z = t.

4. Résoudre. La troisième équation réduite donne y = 1. La première donne alors x = 1 − t. Toutes les solutions sont :

5. Contrôler. En remplaçant x, y et z, les trois membres de gauche valent respectivement 2, 4 et 0 pour tout réel t. Le résultat vérifie donc chaque équation et possède bien un degré de liberté.

Lorsqu'un système contient beaucoup d'équations, on échelonne sa matrice augmentée. Si un pivot apparaît seulement dans la colonne des seconds membres, le calcul s'arrête : les données sont contradictoires.

Si les rangs sont égaux, on compte les colonnes sans pivot pour prévoir le nombre de paramètres avant d'écrire les solutions. Quand aucune colonne d'inconnue n'est libre, la solution est unique.

Pour un petit système carré, un déterminant non nul suffit à garantir une solution unique. Dès que la matrice est rectangulaire ou singulière, la comparaison des rangs reste le critère adapté, car elle distingue absence de solution et famille de solutions.

Avec le critère du déterminant. Pour une matrice carrée A, det(A) ≠ 0 entraîne une solution unique pour tout b. Rouché-Fontené couvre aussi les matrices rectangulaires et les matrices carrées singulières ; il compare alors deux rangs.

Avec la méthode du pivot de Gauss. L'élimination de Gauss est une procédure de calcul qui échelonne le système. Le théorème fournit le critère interprété après ce calcul : égalité des rangs pour l'existence, puis n − r paramètres libres.

Rangs différents. Si rang(A|b) = rang(A) + 1, au minimum, une ligne réduite exprime une contradiction. Le nombre n − rang(A) décrit alors le noyau de A, mais pas des solutions de Ax = b, puisque cet ensemble est vide.

Rang égal au nombre d'inconnues. L'égalité r = n donne une solution unique seulement lorsque le système est compatible. Elle n'exige pas que A soit carrée : un système ayant plus d'équations que d'inconnues peut aussi avoir rang n.

Comptage des solutions. Sur ℝ ou ℂ, au moins un paramètre libre produit une infinité de solutions. Sur un corps fini, la dimension n − r reste correcte, mais le nombre de solutions est fini.

Calcul approché. Avec des coefficients décimaux issus de mesures, décider qu'un pivot est nul dépend d'une tolérance numérique. Une décomposition adaptée et une estimation du rang numérique évitent de conclure à tort à partir d'un très petit pivot.

La fiche espace vectoriel précise le cadre dans lequel le noyau et les paramètres libres forment des directions indépendantes.

La fiche application linéaire relie la matrice A à une transformation et éclaire le rôle de son image et de son noyau.