AnalyseNotion · Glossaire
Rouché Eugène
Le théorème de Rouché permet de compter des zéros sans les calculer. Il compare deux fonctions f et g holomorphes, donc suffisamment régulières pour que les outils de l'analyse complexe s'appliquent, sur une courbe simple fermée Γ. Si f ne s'annule pas sur Γ et si |g(z)| < |f(z)| en tout point de Γ, alors f et f + g ont le même nombre de zéros, comptés avec leur multiplicité, dans le domaine borné par Γ. Autrement dit, une perturbation dominée sur le contour ne change pas le nombre de zéros enfermés.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer Eugène Rouché et ses domaines de travail.
- Énoncer les hypothèses et la conclusion du théorème de Rouché.
- Vérifier le théorème sur le polynôme z³ + 1/2.
- Distinguer le théorème analytique du théorème de Rouché-Fontené.
En clair
En 1862, Eugène Rouché donne son nom à un théorème d'analyse complexe qui compte les zéros d'une fonction sans les chercher un par un. Sur une courbe fermée, on compare deux fonctions. Si la seconde reste partout strictement plus petite que la première en valeur absolue, son ajout ne change pas le nombre de zéros enfermés.
Ce résultat est la trace la plus connue d'un mathématicien français qui enseigna notamment au lycée Charlemagne, à l'École centrale et à l'École polytechnique.
Définition
Eugène Rouché (1832-1910) est un mathématicien français, ancien élève de l'École polytechnique, promotion 1852. Professeur au lycée Charlemagne et à l'École centrale, et examinateur à l'École polytechnique, il travailla sur le calcul différentiel et intégral, les séries, l'algèbre linéaire et les probabilités. Élu à l'Académie des sciences en 1896, il publia des articles et des ouvrages pédagogiques, notamment avec Lucien Lévy et avec Comberousse.
Son théorème d'analyse complexe, daté de 1862, concerne un ouvert simplement connexe D du plan complexe, une courbe simple fermée Γ contenue dans D, et deux fonctions f et g holomorphes dans D. La fonction f doit être non nulle sur Γ. Si, en chaque point z de Γ, , alors f et f + g ont le même nombre de zéros, comptés avec leur multiplicité, dans le domaine borné par Γ.
Le théorème de Rouché-Fontené, aussi appelé théorème de Rouché-Capelli dans d'autres pays, relève au contraire de l'algèbre linéaire. Un système de n équations linéaires à p inconnues, de matrice des coefficients A et de matrice augmentée (A|b), est compatible si rang(A) = rang(A|b). Lorsqu'il est compatible, son ensemble de solutions dépend de p − rang(A) paramètres libres.
Un exemple, pas à pas
On veut compter les zéros du polynôme z³ + 1/2 dans le disque unité. Les données sont la courbe Γ définie par |z| = 1, la fonction f donnée par f(z) = z³ et la fonction g constante donnée par g(z) = 1/2. Ces fonctions sont holomorphes sur ℂ.
1. Sur Γ, la valeur absolue de f vaut . La fonction f n'y est donc jamais nulle.
2. Sur la même courbe, la valeur absolue de g vaut 1/2. L'inégalité stricte 1/2 < 1 est satisfaite en chaque point.
3. La fonction f possède un zéro d'ordre 3 à l'origine. Le théorème assure donc que f + g, c'est-à-dire z³ + 1/2, possède aussi trois zéros dans le disque, multiplicités comprises.
Le contrôle direct consiste à résoudre . Les trois racines ont pour module , inférieur à 1 : elles sont bien toutes dans le disque unité.
En pratique
Pour compter les zéros d'une fonction holomorphe dans une région, on choisit comme fonction dominante une expression dont les zéros sont déjà connus. On préfère le théorème de Rouché à une résolution explicite lorsque l'inégalité sur le contour est simple à établir.
Avec un polynôme, on peut isoler le terme qui domine sur un cercle, puis comparer la somme des autres termes à son module. Si aucune domination stricte n'est disponible, il faut changer de contour, choisir une autre décomposition ou employer un autre outil de comptage.
Pour un système d'équations linéaires, ce n'est pas ce théorème analytique que l'on utilise. Le résultat de Rouché-Fontené examine le rang afin de décider si le système admet des solutions et combien de paramètres libres elles comportent.
À ne pas confondre
Théorème de Rouché et théorème de Rouché-Fontené. Le premier compare les modules de fonctions holomorphes sur une courbe fermée pour compter leurs zéros. Le second utilise le rang d'un système linéaire pour étudier ses solutions. Une inégalité |g(z)| < |f(z)| signale le premier ; une question de rang signale le second.
Compter les zéros et calculer les zéros. Le théorème d'analyse complexe donne un nombre de zéros dans un domaine, avec multiplicité, mais pas leur position. Pour z³ + 1/2, il annonce trois zéros dans le disque unité ; la résolution de l'équation est une opération supplémentaire.
Limites et pièges
Égalité sur le contour. Si |g(z)| atteint |f(z)| en un point de Γ, l'hypothèse stricte échoue. Le théorème ne permet alors aucune conclusion directe ; il faut modifier la décomposition, choisir un autre contour ou recourir à un autre résultat.
Zéro de f sur Γ. Si f s'annule sur la courbe, la comparaison exigée n'est pas satisfaite. Avant d'appliquer le théorème, il faut donc contrôler tout le contour, et non quelques points seulement.
Zéros situés sur la frontière. Le résultat compte les zéros dans le domaine borné délimité par Γ. Un zéro placé sur Γ empêche le cadre annoncé de fonctionner comme dans l'exemple ; un léger déplacement du contour peut permettre de reformuler le problème.
Multiplicités oubliées. Le nombre obtenu inclut les multiplicités. Dans l'exemple, z³ a un seul emplacement nul, l'origine, mais ce zéro est d'ordre 3 ; le compte transmis à z³ + 1/2 vaut donc trois.
Pour aller plus loin
La fiche fonction holomorphe précise la régularité complexe exigée des deux fonctions comparées.
L'entrée analyse complexe replace le comptage des zéros dans le domaine auquel appartient le théorème de Rouché.
Le théorème de Rouché-Fontené développe séparément le résultat d'algèbre linéaire également associé au nom de Rouché.
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