noyau de Cauchy

Imaginez une boucle fermée entourant un point où l’on veut connaître la valeur d’une fonction. Le noyau de Cauchy associe à chaque point de la boucle un poids qui dépend de la différence complexe entre ce point et le point intérieur. Le module de ce poids augmente lorsque les deux points se rapprochent.

En additionnant continûment les valeurs pondérées le long de la boucle, on retrouve exactement la valeur cherchée pour une fonction holomorphe. Le noyau transforme ainsi des informations prises sur le bord en une information à l’intérieur.

Le noyau de Cauchy est le facteur intégral qui relie les valeurs d’une fonction holomorphe sur un contour à ses valeurs intérieures. On note ζ le point variable du contour et z le point où la fonction est évaluée. Le noyau non normalisé est $\frac{1}{\zeta -z}\backslash frac\{1\}\{\backslash zeta-z\}$. Selon la convention choisie, l’expression « noyau de Cauchy » peut aussi inclure le facteur de normalisation $\frac{1}{2\pi i}\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; i\}$.

Soit Γ un contour fermé simple orienté dans le sens positif, et soit f une fonction holomorphe dans un domaine contenant Γ et son intérieur. Si le point z appartient à l’intérieur de Γ, la formule intégrale de Cauchy s’écrit :

La variable ζ parcourt seulement le contour : le pôle du noyau, situé en ζ = z, reste à l’intérieur sans se trouver sur le chemin d’intégration. Le résultat dépend de l’orientation ; avec l’orientation opposée, l’intégrale change de signe. Si z est à l’extérieur et si f reste holomorphe dans la région entourée, l’intégrale correspondante vaut zéro.

On rencontre le noyau de Cauchy dans une intégrale prise le long d’une courbe fermée du plan complexe. Plusieurs marqueurs permettent de le reconnaître : une variable ζ qui parcourt le contour, un point fixe z placé hors du contour lui-même, le dénominateur ζ − z, la différentielle dζ et souvent le facteur 1/(2πi).

Ce dispositif porte une information précise : les valeurs de la fonction sur la frontière déterminent sa valeur au point intérieur. Dans les calculs, le contour est fréquemment noté Γ et son sens de parcours doit être indiqué. La figure matérialise le cercle unité de l’exemple, le point intérieur et l’écart complexe qui intervient au dénominateur.

La grandeur lue est la contribution pondérée de chaque valeur f(ζ) à la valeur intérieure f(z). 1. Repérez le contour Γ et son orientation ; le sens positif est antihoraire pour un contour simple. 2. Distinguez la variable ζ, qui se déplace sur Γ, du point fixe z. 3. Vérifiez que z est à l’intérieur et que f est holomorphe sur une région contenant le contour et son intérieur. 4. Appliquez la normalisation 1/(2πi) si elle n’est pas déjà incluse dans le noyau.

Le dénominateur nul en ζ = z peut donner l’impression que l’intégrale est impossible. Cette singularité ne se trouve pourtant pas sur le chemin lorsque z est strictement intérieur. Le bon réflexe consiste donc à vérifier la position du pôle par rapport au contour, et non à supprimer le noyau à cause de sa seule présence dans la région entourée.

On veut retrouver la valeur d’une fonction à partir de ses valeurs sur le cercle unité. Données. Le contour Γ est le cercle |ζ| = 1 parcouru dans le sens antihoraire. La fonction est définie par f(ζ) = ζ². Le point intérieur est z = 1/2. Le noyau est pris avec la normalisation 1/(2πi).

1. Le point z vérifie |z| = 1/2 < 1 : il est strictement à l’intérieur de Γ.
2. La fonction polynomiale f est holomorphe sur le cercle et dans son intérieur.
3. La formule intégrale donne :4. On évalue la fonction au point choisi : $f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{2}\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}f\backslash !\backslash left(\backslash frac12\backslash right)=\backslash left(\backslash frac12\backslash right)^2=\backslash frac14$.

Le résultat normalisé est donc 1/4. Sans le facteur 1/(2πi), la même intégrale vaut $2\pi i\times \frac{1}{4}=\frac{\pi i}{2}2\backslash pi\; i\backslash times\backslash frac14=\backslash frac\{\backslash pi\; i\}\{2\}$. Le contrôle est direct : la formule doit rendre la valeur ordinaire de f en z, et (1/2)² vaut bien 1/4.

Pour calculer une valeur intérieure d’une fonction holomorphe, on choisit un contour fermé sur lequel la fonction est connue, puis on intègre avec le noyau. Une évaluation directe reste préférable lorsque la formule de la fonction rend le remplacement de z immédiat.

Pour établir des propriétés locales, le noyau relie le comportement au centre à des données prises sur un cercle environnant. Si la région disponible contient des singularités de la fonction, il faut choisir un contour dont le tracé et la région intérieure en sont exempts, ou employer les outils adaptés aux fonctions méromorphes.

Pour contrôler un calcul, on repère d’abord le pôle ζ = z et l’orientation du contour. Si le point est extérieur au contour, la formule de restitution intérieure ne s’applique pas ; sous les hypothèses d’holomorphie appropriées, l’intégrale vaut alors zéro.

Noyau de Cauchy et formule intégrale de Cauchy. Le noyau est le facteur 1/(ζ − z), éventuellement normalisé. La formule est l’égalité complète qui intègre ce facteur avec f(ζ). Dans l’exemple, 1/(ζ − 1/2) est le noyau, tandis que l’égalité donnant 1/4 est la formule.

Noyau de Cauchy et intégrale de Cauchy. Le premier est une fonction de ζ et z ; la seconde est l’opération d’intégration sur un contour. Changer Γ modifie l’intégrale écrite, mais pas l’expression locale 1/(ζ − z) du noyau.

Noyau de Cauchy et résidu. Le noyau crée un pôle simple en ζ = z, tandis que le résidu est le coefficient associé à ce pôle dans un développement local. Pour f(ζ)/(ζ − z), ce résidu vaut f(z), mais les deux notions ne sont pas interchangeables.

Point sur le contour. Si z appartient à Γ, le dénominateur s’annule sur le chemin : l’intégrale ordinaire de la formule de Cauchy n’est plus définie dans ce cadre. Il faut modifier le contour ou préciser une autre notion d’intégrale adaptée.

Point extérieur. Lorsque |z| > 1 dans l’exemple du cercle unité, le pôle se trouve hors de la région entourée. La restitution f(z) est alors fausse ; si l’intégrande est holomorphe à l’intérieur, l’intégrale vaut zéro. Le seuil charnière est |z| = 1, cas où le pôle atteint le contour.

Orientation inversée. Parcourir Γ dans le sens horaire change le signe de l’intégrale. Pour conserver la formule affichée, il faut utiliser l’orientation positive ou introduire explicitement un signe moins.

Fonction non holomorphe dans la région. Une singularité supplémentaire de f à l’intérieur empêche d’appliquer directement la formule dans sa forme élémentaire. Il faut choisir une région où f est holomorphe ou tenir compte des autres singularités avec un théorème approprié.

La fiche fonction holomorphe précise la régularité qui rend possible la restitution d’une valeur intérieure.

La fiche intégrale de Cauchy replace le noyau dans l’opération complète effectuée sur un contour.

La fiche résidu prolonge l’étude des pôles lorsque l’intégrande possède plusieurs singularités.

La fiche analyse complexe situe ce mécanisme parmi les outils consacrés aux fonctions d’une variable complexe.