résidu

Imaginez une boucle tracée dans le plan complexe autour de quelques points où une fonction devient singulière. À chacun de ces points, un seul coefficient local suffit pour connaître sa contribution à l’intégrale sur la boucle : le résidu.

Ce coefficient est celui du terme en 1/(z − a) dans la série de Laurent près du point a. Les autres termes décrivent aussi la fonction, mais ils ne contribuent pas de la même manière à l’intégrale sur un contour fermé.

Soit a un point du plan complexe. On suppose que la fonction f est holomorphe dans un disque centré en a dont on a retiré le centre, et que a est un pôle isolé d’ordre p, avec p ≥ 1. Au voisinage de a, la série de Laurent de f s’écrit :

Le résidu de f au point a est le coefficient a₋₁ du terme en (z − a)⁻¹. Autrement dit, $\mathrm{Res}(f,a)=a_{-1}\backslash operatorname\{Res\}(f,a)=a\_\{-1\}$. Le théorème des résidus relie ces coefficients locaux à une intégrale curviligne : pour un contour fermé convenablement orienté, ne passant par aucune singularité, et sous les hypothèses usuelles de méromorphie, l’intégrale vaut 2πi fois la somme des résidus des pôles intérieurs, comptés avec l’indice du contour.

Considérons la fonction f définie par $f(z)=\frac{z+2}{z(z-1)}f(z)=\backslash frac\{z+2\}\{z(z-1)\}$. Les données sont les deux pôles simples 0 et 1, ainsi que le cercle C centré en 0, de rayon 1/2, parcouru une fois dans le sens direct. Ce contour enferme 0, mais pas 1.

1. Pour calculer le résidu au pôle simple 0, on multiplie f(z) par z, puis on fait tendre z vers 0.

2. Le pôle 1 reste à l’extérieur du cercle. Il ne figure donc pas dans la somme associée à C.

3. Le théorème des résidus donne alors ${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\times (-2)=-4\pi i\backslash oint\_C\; f(z)\backslash ,dz=2\backslash pi\; i\backslash times(-2)=-4\backslash pi\; i$. Le contrôle consiste à décomposer f en éléments simples : $f(z)=-\frac{2}{z}+\frac{3}{z-1}f(z)=-\backslash frac\{2\}\{z\}+\backslash frac\{3\}\{z-1\}$. Le coefficient de 1/z est bien −2, tandis que le second terme est holomorphe à l’intérieur de C.

Pour intégrer une fonction méromorphe sur un contour fermé, on repère d’abord les pôles réellement encerclés. Le calcul par résidus est préférable à un paramétrage direct lorsque ces singularités et leurs résidus sont faciles à déterminer.

À un pôle simple a, la limite de (z − a)f(z) fournit souvent le résidu. Si cette limite ne convient pas, notamment pour un pôle d’ordre supérieur, on revient au coefficient de (z − a)⁻¹ dans la série de Laurent ou à une formule de dérivation adaptée.

Avant de sommer, on contrôle le contour, son orientation et la position de chaque singularité. Dans l’exemple conducteur, le cercle de rayon 1/2 sélectionne le pôle 0 et exclut le pôle 1 : ce tri géométrique fait partie du calcul.

Résidu et pôle. Le pôle est le point singulier et son ordre mesure la puissance la plus négative présente. Le résidu est seulement le coefficient du terme de puissance −1. Ainsi, un pôle d’ordre 2 peut avoir un résidu nul.

Résidu et partie principale. La partie principale rassemble tous les termes de puissances négatives de la série de Laurent. Le résidu n’en retient qu’un seul, celui en (z − a)⁻¹.

Résidu complexe et résidu quadratique. Le premier appartient à l’analyse complexe et se lit dans une série de Laurent. Le second relève de l’arithmétique modulaire ; la présence d’une congruence plutôt que d’un pôle tranche immédiatement.

Singularité sur le contour. Le théorème des résidus sous sa forme usuelle ne s’applique pas si le contour passe par un pôle. Il faut modifier le contour ou employer une notion adaptée, telle qu’une valeur principale lorsque ses hypothèses sont satisfaites.

Orientation ou enroulement non standard. Le facteur 2πi suppose un parcours positif une fois autour des pôles. Un parcours en sens inverse change le signe ; plusieurs tours multiplient la contribution par l’indice correspondant.

Résidu nul. Un résidu égal à 0 ne rend pas nécessairement la fonction holomorphe. Par exemple, 1/z² possède un pôle d’ordre 2 en 0, mais aucun terme en 1/z.

Mauvais choix de développement. Une série de Laurent dépend de la couronne où elle converge. Pour identifier le bon coefficient, il faut choisir un développement valable au voisinage épointé du point étudié.

La série de Laurent montre d’où vient le coefficient a₋₁ et comment il s’insère parmi les termes réguliers et singuliers.

La notion de fonction holomorphe précise la régularité exigée hors des singularités isolées.

L’Intégrale curviligne permet d’approfondir le rôle du contour, de son orientation et du parcours dans le plan complexe.