AnalyseNotion · Glossaire
Partie polaire
La partie polaire d'une fonction méromorphe au voisinage d'un pôle est la somme des termes à puissances négatives de son développement en série de Laurent. Pour une fonction ayant un pôle d'ordre n en z0, la partie polaire est une fraction rationnelle en (z - z0) avec des exposants de -1 à -n. Elle constitue la contribution singulière de la fonction, tandis que la partie régulière est holomorphe. La décomposition en éléments simples des fractions rationnelles en est un exemple.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Isoler les puissances négatives d'un développement de Laurent.
- Déterminer l'ordre d'un pôle à partir du premier coefficient négatif non nul.
- Lire le résidu comme coefficient du terme de puissance −1.
- Contrôler que la soustraction de la partie polaire laisse une fonction holomorphe.
- Distinguer pôle, singularité supprimable et singularité essentielle.
En clair
Autour d'un point où une fonction devient infinie, son développement de Laurent ressemble à une série ordinaire enrichie de puissances négatives. Celles-ci forment la partie polaire. Par exemple, près du nombre complexe 1, les termes 2/(z − 1)3 et −5/(z − 1) explosent lorsque z s'approche de 1 : ils composent cette partie singulière. Le terme (z − 1)2, lui, reste régulier.
Définition
Soit z0 un point autour duquel une fonction f possède un développement de Laurent dans un disque ponctué. La partie polaire de f en z0 rassemble exactement les termes dont l'exposant de z − z0 est strictement négatif. Si z0 est un pôle d'ordre n, le coefficient a−n est non nul et cette somme est finie :
La différence f − Pz₀ ne contient que les puissances d'exposant positif ou nul ; elle se prolonge en une fonction holomorphe au point z0. Le coefficient a−1 est le résidu de f en ce point. La partie polaire contient donc le résidu, mais aussi les éventuels termes d'ordres −2 à −n. Pour une fraction rationnelle, la décomposition en éléments simples rassemble précisément ces contributions, pôle par pôle.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction f autour du point z0 = 1. Les données sont les trois termes 2/(z − 1)3, −5/(z − 1) et (z − 1)2. Nous voulons isoler sa partie polaire, déterminer l'ordre du pôle et lire le résidu.
1. Écrivons le développement donné :
2. Séparons les exposants négatifs de l'exposant positif. La figure matérialise cette séparation sans ajouter de terme :
3. La plus forte puissance négative présente est −3 et son coefficient vaut 2, qui est non nul. Le point 1 est donc un pôle d'ordre 3.
4. Le coefficient du terme 1/(z − 1) vaut −5 : le résidu en 1 est donc −5. Pour contrôler la séparation, soustrayons la partie polaire à f ; il reste exactement (z − 1)2, qui est holomorphe en 1.
En pratique
Pour analyser une singularité isolée, on développe la fonction autour du point concerné et on examine les exposants négatifs. Une partie polaire finie dont le premier coefficient non nul correspond à l'exposant −n révèle un pôle d'ordre n ; une infinité de puissances négatives signale plutôt une singularité essentielle.
Pour extraire un résidu, toute la partie polaire n'est pas nécessaire : seul le coefficient de 1/(z − z0) est recherché. En revanche, pour retirer toute la singularité au pôle, il faut soustraire chacun des termes négatifs, pas seulement celui du résidu.
Pour une fraction rationnelle, la décomposition en éléments simples est souvent préférable à un développement terme à terme. Chaque fraction associée à un pôle fournit directement les termes de sa partie polaire locale.
À ne pas confondre
La série de Laurent complète contient les puissances négatives, nulles et positives. La partie polaire n'en garde que les puissances négatives : dans l'exemple, elle exclut donc (z − 1)2.
La partie régulière est le complément holomorphe de la partie polaire au voisinage considéré. Dans l'exemple, la première vaut (z − 1)2, tandis que la seconde contient les deux fractions.
Le résidu est un seul coefficient, celui de la puissance −1. Pour un pôle d'ordre 3, il ne suffit généralement pas à reconstituer la partie polaire, qui peut aussi comporter des puissances −2 et −3.
Limites et pièges
Si tous les coefficients d'exposant négatif sont nuls, la partie polaire est nulle. Le point n'est alors pas un pôle : la singularité est supprimable et la fonction se prolonge holomorphiquement.
Une infinité de coefficients négatifs non nuls ne décrit pas un pôle d'ordre infini. Elle caractérise une singularité essentielle ; la contribution singulière n'est plus la fraction rationnelle finie décrite pour un pôle.
L'ordre apparent d'un dénominateur peut être trompeur avant simplification. Si le numérateur s'annule aussi au point étudié, des facteurs se compensent ; il faut simplifier ou calculer le premier coefficient négatif non nul avant d'annoncer l'ordre du pôle.
La partie polaire dépend du centre choisi. Les expressions en puissances de z − z0 décrivent la singularité en z0 ; pour étudier un autre pôle, il faut refaire le développement autour de ce nouveau point.
Pour aller plus loin
La série de Laurent replace les puissances négatives dans le développement complet et précise le domaine annulaire où celui-ci représente la fonction.
Le résidu approfondit le rôle particulier du coefficient de puissance −1, notamment lorsqu'on veut exploiter l'information locale portée par un pôle.
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