fonction méromorphe

Imaginez une fonction complexe que l’on peut évaluer partout, sauf en des points isolés, éventuellement en nombre infini, sans accumulation dans le domaine. Près de chacun de ces points, ses valeurs deviennent arbitrairement grandes selon une règle précise : le point est un pôle. Partout ailleurs, la fonction se comporte sans rupture et possède des dérivées complexes de tous les ordres.

Une fonction méromorphe est donc presque holomorphe : elle n’accepte que ces singularités isolées et contrôlées, jamais une zone entière de défauts.

Soit un domaine ouvert du plan complexe, noté U. Une fonction f est méromorphe sur U si elle est holomorphe sur U privé d’un ensemble discret de points et si chacun de ces points est un pôle. « Discret » signifie que chaque pôle possède un voisinage ne contenant aucun autre pôle. Sur tout le plan complexe, ces pôles ne peuvent donc pas avoir de point d’accumulation fini.

Au voisinage d’un pôle a, le développement de Laurent de f comporte un nombre fini de puissances négatives. Si la plus petite puissance est −m, où m est un entier positif, alors a est un pôle d’ordre m. Cette condition distingue un pôle d’une singularité essentielle, dont la partie à puissances négatives est infinie.

Localement, une fonction méromorphe peut s’écrire comme le quotient de deux fonctions holomorphes, la fonction au dénominateur n’étant pas identiquement nulle : $f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}f(z)=\backslash frac\{g(z)\}\{h(z)\}$. Après simplification des facteurs communs, les zéros restants de h donnent les pôles. Une fraction rationnelle est un exemple classique. Une fonction holomorphe est aussi méromorphe, avec un ensemble de pôles vide.

Une fonction méromorphe réunit quatre éléments. Le domaine précise où la variable complexe peut circuler. La partie régulière est le domaine privé des pôles ; la fonction y est holomorphe. Les pôles sont isolés et chacun possède un ordre entier positif. Enfin, le développement de Laurent décrit localement la fonction autour d’un pôle : sa partie principale contient exactement les puissances négatives, en nombre fini.

Le domaine détermine quels pôles sont pris en compte. À son tour, l’ordre d’un pôle fixe le terme négatif de plus bas exposant dans la série de Laurent. Ces données suffisent à repérer les singularités autorisées et à décrire le comportement local. Dans l’exemple conducteur, le plan complexe sépare nettement le zéro z = −1 du pôle z = 1. La couleur ou l’échelle d’un tracé éventuel ne définit pas la fonction.

Considérons la variable complexe z et la fonction rationnelle f définie par : $f(z)=\frac{z+1}{(z-1{)}^2}f(z)=\backslash frac\{z+1\}\{(z-1)^2\}$. Les données sont le numérateur z + 1, le dénominateur (z − 1)² et le point candidat z = 1.

1. Le dénominateur s’annule en z = 1, tandis que le numérateur y vaut 2. Il n’existe donc aucun facteur commun à simplifier en ce point.

2. Posons w = z − 1, l’écart au point étudié. Alors z + 1 = w + 2 et le développement local est exact :

3. La plus petite puissance est w⁻². Le point z = 1 est donc un pôle d’ordre 2. Le seul zéro est z = −1, car le numérateur s’y annule sans que le dénominateur s’annule.

Le contrôle se refait en multipliant la décomposition par w² : on retrouve 2 + w, soit z + 1. Hors de z = 1, cette fraction rationnelle est holomorphe ; elle est donc méromorphe sur le plan complexe.

Pour étudier une fraction rationnelle, on commence par factoriser le dénominateur. Après avoir simplifié les facteurs communs avec le numérateur, chaque zéro restant du dénominateur signale un pôle ; sa multiplicité donne l’ordre du pôle.

Pour décrire la fonction près d’un pôle, on recentre la variable sur ce point et on cherche la partie négative de la série de Laurent. Une décomposition en éléments simples est souvent préférable lorsque la fonction est rationnelle, car elle rend directement visibles les termes singuliers.

Si le dénominateur ne s’annule nulle part dans le domaine étudié, il n’y a aucun pôle à traiter : le cadre holomorphe suffit. Le critère observable est donc la présence, après simplification, d’un zéro du dénominateur dans ce domaine.

Fonction holomorphe. Elle ne possède aucun pôle dans son domaine, tandis qu’une fonction méromorphe peut en avoir. Ainsi, la fonction de l’exemple n’est pas holomorphe sur le plan entier à cause de z = 1, mais elle y est méromorphe.

Singularité essentielle. Son développement de Laurent possède une infinité de termes à exposants négatifs. Un pôle n’en possède qu’un nombre fini : dans l’exemple, les seuls termes négatifs sont 2/w² et 1/w.

Singularité amovible. Après simplification ou prolongement, la fonction peut recevoir une valeur holomorphe au point manquant. Un véritable pôle ne disparaît pas ainsi ; ses valeurs deviennent non bornées au voisinage du point.

Un zéro du dénominateur n’est pas automatiquement un pôle. Si le numérateur possède le même facteur, la singularité peut être amovible. Il faut d’abord simplifier les facteurs communs, puis examiner le dénominateur restant.

Des singularités isolées ne suffisent pas. Chacune doit être un pôle. Une partie principale de Laurent comportant une infinité de puissances négatives révèle une singularité essentielle et exclut la méromorphie sur un domaine qui contient ce point.

Les pôles peuvent être nombreux, mais pas s’accumuler dans le domaine. Si tout voisinage d’un point intérieur contient d’autres pôles, l’ensemble n’est plus discret. Il faut alors retirer le point d’accumulation du domaine ou changer de cadre.

Le quotient exige un vrai dénominateur. Une fonction identiquement nulle ne peut pas servir de dénominateur. Si le dénominateur holomorphe n’est pas identiquement nul, ses zéros isolés sont examinés après les éventuelles simplifications.

La fonction holomorphe donne le cadre régulier dont la méromorphie autorise seulement des pôles isolés.

La série de Laurent permet de lire la partie principale et l’ordre d’un pôle autour du point étudié.

La fonction rationnelle fournit une famille concrète où factorisation et simplification rendent les pôles directement calculables.