Degré d'une fraction rationnelle

Prenons une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Chacun possède son propre degré, donné par sa plus grande puissance. Pour attribuer un degré à la fraction entière, il faut donc savoir quelle convention est utilisée.

Sur la sphère de Riemann, on retient le plus grand des deux degrés. Dans d'autres contextes, on peut regarder seulement le dénominateur ou soustraire son degré à celui du numérateur. Ces trois nombres ne répondent pas à la même question.

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Notons P le numérateur et Q le dénominateur, avec Q non nul. Avant de parler de son degré, on suppose P et Q premiers entre eux, c'est-à-dire sans facteur polynomial commun non constant. Cette réduction empêche qu'une même fonction reçoive des degrés différents à cause d'un facteur simplifiable.

Lorsque la fraction définit une application rationnelle non constante de la sphère de Riemann vers elle-même, son degré est $\max (\mathrm{deg}P,\mathrm{deg}Q)\backslash max(\backslash deg\; P,\backslash deg\; Q)$. Il mesure alors le nombre d'antécédents d'une valeur générique, comptés avec multiplicité. Cette convention est celle de l'analyse complexe mentionnée dans la définition de référence.

Selon le cadre, l'expression peut aussi désigner le degré de Q, notamment lorsqu'on classe les dénominateurs, ou la différence $\mathrm{deg}P-\mathrm{deg}Q\backslash deg\; P-\backslash deg\; Q$, qui décrit le comportement dominant à l'infini. La convention doit donc être annoncée ; ces valeurs ne sont pas interchangeables.

On rencontre cette notion devant une expression écrite comme le quotient de deux polynômes. Plusieurs indices sont visibles : une même variable figure au numérateur et au dénominateur, des puissances entières non négatives apparaissent, et le dénominateur n'est pas le polynôme nul.

Le contexte fournit le dernier marqueur décisif. Une application de la sphère de Riemann appelle le maximum des deux degrés ; une étude centrée sur les pôles peut privilégier le dénominateur ; un comportement à l'infini conduit à comparer les deux degrés par leur différence.

La grandeur lue est un entier obtenu à partir des degrés du numérateur et du dénominateur. Pour la déterminer sans ambiguïté, suivez quatre étapes.

1. Simplifiez les facteurs polynomiaux communs.
2. Relevez séparément le degré du numérateur et celui du dénominateur.
3. Identifiez la convention annoncée par le contexte.
4. Appliquez le maximum, le degré du dénominateur ou la différence correspondante.

L'œil peut être attiré par la plus grande puissance visible avant simplification. Ce réflexe est trompeur si un facteur commun s'annule. Le bon contrôle consiste à réduire d'abord la fraction, puis à nommer explicitement la convention retenue.

Considérons la fraction rationnelle dont le numérateur est P(z) = z³ − 1 et le dénominateur Q(z) = z² + 1. Les données sont les suivantes : P et Q n'ont aucun facteur commun, le degré de P vaut 3 et celui de Q vaut 2.

1. Pour l'application de la sphère de Riemann, prenez le maximum : $\max (3,2)=3\backslash max(3,2)=3$.
2. Avec la convention centrée sur le dénominateur, le degré vaut 2.
3. Pour le comportement dominant à l'infini, calculez $3-2=13-2=1$.

Le même quotient fournit donc 3, 2 ou 1 selon la convention. Un contrôle direct confirme la première valeur : pour une valeur générique w, l'équation P(z) = wQ(z) est de degré 3 en z et possède trois solutions complexes comptées avec multiplicité. La figure synthétise ces trois lectures sans les confondre.

En analyse complexe, on traite une fraction rationnelle comme une application de la sphère de Riemann. On choisit alors le maximum des degrés, car il donne le nombre d'antécédents d'une valeur générique, avec multiplicité.

Pour étudier le comportement lorsque la variable devient grande, on compare plutôt les termes dominants. La différence des degrés indique si le quotient croît comme une puissance, tend vers une constante non nulle ou tend vers zéro.

Dans un classement qui porte explicitement sur les dénominateurs, seul le degré de Q peut être demandé. Le vocabulaire du problème tranche : « application rationnelle », « comportement à l'infini » et « degré du dénominateur » appellent trois lectures distinctes.

Le degré d'un polynôme non nul se lit sur une seule expression polynomiale : c'est la plus grande puissance dont le coefficient est non nul. Le degré d'une fraction rationnelle combine, selon une convention annoncée, les degrés de deux polynômes. Pour P(z)/Q(z) avec des degrés 3 et 2, le premier vaut 3 pour P, tandis que la fraction peut recevoir 3, 2 ou 1.

L'ordre d'un pôle fini est local : il mesure la multiplicité d'un zéro du dénominateur après réduction. Le degré de l'application rationnelle est global. Dans l'exemple, le degré global vaut 3, alors que chacun des deux pôles finis issus de z² + 1 est simple.

Fraction non réduite. Si P et Q partagent un facteur non constant, les puissances visibles surestiment le degré de la fonction rationnelle. Il faut simplifier ce facteur avant tout calcul.

Trois conventions, trois informations. Pour des degrés 3 et 2, le maximum vaut 3, le degré du dénominateur vaut 2 et la différence vaut 1. Donner seulement « le degré vaut 3 » sans préciser le cadre rend la réponse fragile.

Cas constant. Si P et Q sont des constantes non nulles, leur quotient est constant et le maximum de leurs degrés vaut 0. La propriété des antécédents génériques formulée pour une application rationnelle non constante ne s'applique alors pas de la même manière.

Numérateur nul. Le polynôme nul n'a pas de degré fini dans la convention usuelle. La fraction nulle doit donc être traitée à part au lieu d'appliquer mécaniquement le maximum ou la différence.

Le degré d'un polynôme précise la donnée de départ utilisée pour le numérateur et le dénominateur.

La sphère de Riemann donne le cadre dans lequel le maximum des deux degrés devient le degré de l'application rationnelle.

Une fonction méromorphe replace les fractions rationnelles dans une famille de fonctions dont les singularités sont des pôles isolés.