Padé Henri

Henri Padé, mathématicien français né en 1863 et mort en 1953, a donné son nom à une manière d'approcher une fonction. Au lieu de garder seulement un polynôme, on utilise le rapport de deux polynômes. Cette fraction peut reproduire plusieurs premiers termes du développement de la fonction tout en adoptant une forme différente au-delà. L'idée est au cœur des approximants de Padé.

Henri Padé (1863-1953) est un mathématicien français. Après l'École normale supérieure et l'agrégation de mathématiques, il se perfectionne à Göttingen avec Felix Klein et Herman Schwarz. Il soutient ensuite sa thèse à Paris sous la direction de Charles Hermite. Il enseigne la mécanique rationnelle à Lille, à l'Institut industriel du Nord et à Poitiers, puis devient recteur d'académie.

Son nom reste attaché à l'approximant de Padé d'une fonction analytique. Pour deux degrés entiers donnés, notés m et n, on cherche un polynôme P de degré au plus m et un polynôme Q de degré au plus n. Leur quotient doit avoir le même développement en série que la fonction autour de 0 jusqu'au plus grand ordre imposé par ces degrés. En normalisant le dénominateur par Q(0) = 1, la condition s'écrit : $Q(x)f(x)-P(x)=O(x^{m+n+1})Q(x)f(x)-P(x)=O(x^\{m+n+1\})$.

Le résultat est une fraction rationnelle, donc un rapport de deux polynômes, et non un simple développement polynomial. Cette liberté supplémentaire explique sa souplesse. En faisant varier les degrés, les approximants peuvent être organisés en suites liées à des fractions continues.

Données. On prend la fonction exponentielle autour de 0, avec son développement 1 + x + x²/2 + x³/6 + … On cherche un numérateur et un dénominateur de degré 1. Le terme constant du dénominateur est fixé à 1.

1. On pose la fraction cherchée sous la forme $R(x)=\frac{1+ax}{1+bx}R(x)=\backslash frac\{1+ax\}\{1+bx\}$, où a et b sont les coefficients à déterminer.

2. On impose que la différence entre (1 + bx)e^x et 1 + ax commence au terme en x³. Les coefficients de x et de x² donnent : $a=1+b,\frac{1}{2}+b=0a=1+b,\backslash qquad\; \backslash frac12+b=0$.

3. La seconde égalité donne b = −1/2, puis la première donne a = 1/2. L'approximant recherché est donc :

4. Le contrôle consiste à redévelopper cette fraction : 1 + x + x²/2 + x³/4 + … Les coefficients sont bien identiques à ceux de e^x jusqu'au degré 2 ; ils diffèrent à partir du degré 3.

Pour approcher une fonction près d'un point, on calcule les coefficients de sa série, puis ceux du numérateur et du dénominateur. Si un polynôme suffit sur la zone observée, un développement de Taylor est plus direct.

Une fraction rationnelle devient intéressante lorsque la forme attendue comporte un comportement qu'un polynôme reproduit mal, notamment une croissance bornée ou un pôle. On examine alors les zéros du dénominateur avant d'utiliser l'approximation.

Pour contrôler le calcul, on multiplie la fonction par le dénominateur et on retranche le numérateur. Les premiers coefficients doivent s'annuler jusqu'à l'ordre annoncé ; sinon, les degrés ou le système d'équations ont été mal appliqués.

Approximant de Padé et polynôme de Taylor. Le premier est un quotient de polynômes ; le second est un polynôme. Dans l'exemple, (1 + x/2)/(1 − x/2) est l'approximant de Padé [1/1], tandis que 1 + x + x²/2 est le polynôme de Taylor de degré 2.

Henri Padé et l'approximant de Padé. Henri Padé est le mathématicien français né en 1863. L'approximant est l'objet mathématique qui porte son nom : une fraction rationnelle choisie pour accorder des coefficients de série.

Un accord local n'est pas une garantie globale. Faire coïncider les coefficients autour de 0 ne garantit pas une bonne approximation loin de 0. Il faut comparer l'erreur sur l'intervalle effectivement utilisé.

Le dénominateur peut s'annuler. Dans l'exemple, 1 − x/2 vaut 0 pour x = 2 : la fraction possède alors un pôle, contrairement à e^x. Il faut exclure ce point et vérifier si ce pôle reflète la fonction ou constitue un artefact de l'approximation.

Le couple de degrés compte. Deux approximants construits avec des degrés différents n'ont pas les mêmes propriétés. Pour un couple donné, le système imposé aux coefficients peut aussi être singulier ; la normalisation Q(0) = 1 ne suffit pas toujours à assurer une solution unique du degré attendu.

La fraction continue dépend de l'organisation choisie. Les approximants peuvent apparaître comme convergents d'une fraction continue appropriée. Cela ne signifie pas qu'une unique fraction continue universelle représente automatiquement toute la table des couples de degrés.

L'article approximant de Padé approfondit l'objet mathématique auquel Henri Padé a donné son nom.

La fiche fonction analytique précise le cadre dans lequel les coefficients de série utilisés par l'approximation sont définis.

La fiche Fraction continue présente l'écriture dont certains convergents sont reliés à des suites d'approximants de Padé.

Le portrait Hermite Charles situe le directeur de thèse de Padé dans l'histoire des mathématiques.