Division selon les puissances croissantes

Prenons 1 et divisons-le par 1 − x. Au lieu de commencer par le terme de plus haut degré, on cherche d’abord le terme constant du quotient, puis celui en x, puis en x², et ainsi de suite. Chaque nouveau terme efface la plus petite puissance de x qui subsiste. En s’arrêtant après x³, on obtient 1 + x + x² + x³, avec une erreur qui ne commence qu’en x⁴.

La division selon les puissances croissantes construit, de gauche à droite, les coefficients d’un quotient au voisinage de 0. On écrit le dividende f et le diviseur g par degrés croissants. Le coefficient constant de g, noté g₀, doit être non nul pour que chaque coefficient du quotient soit déterminé sans ambiguïté sur les nombres réels ou complexes.

Pour un ordre n entier positif ou nul, on cherche un polynôme q_n de degré au plus n tel que le reste ne contienne aucune puissance de degré inférieur ou égal à n. Cette condition s’écrit $f(x)=g(x)q_n(x)+x^{n+1}r(x)f(x)=g(x)q\_n(x)+x^\{n+1\}r(x)$, où r désigne le reste après factorisation par xⁿ⁺¹. Ainsi, q_n rassemble les coefficients du quotient formel de f par g jusqu’au degré n, soit n + 1 coefficients en comptant le terme constant.

Le calcul est algébrique : il reste valable pour des séries formelles, sans supposer leur convergence. Si f et g représentent des fonctions suffisamment régulières près de 0 et si g(0) ≠ 0, le même polynôme fournit le développement limité du quotient f/g à l’ordre n.

Divisons f(x) = 1 par g(x) = 1 − x jusqu’au degré 3. Les données sont le terme constant 1 du dividende, le terme constant 1 du diviseur et le degré d’arrêt 3. Nous cherchons quatre coefficients, de celui de x⁰ à celui de x³.

1. Le terme constant du quotient vaut 1. Après soustraction de 1 − x, il reste x.

2. Le terme suivant vaut x. Le produit x(1 − x) efface x et laisse x².

3. Le même geste donne successivement x², puis x³. Le quotient arrêté est donc $q_3(x)=1+x+x^2+x^{3}q\_3(x)=1+x+x^2+x^3$.

4. Le reste commence au degré 4. L’alignement des quatre termes du quotient rend visible le déplacement d’une puissance à chaque soustraction.

5. Contrôlons par multiplication : $(1-x)(1+x+x^2+x^3)=1-x^4(1-x)(1+x+x^2+x^3)=1-x^4$. Par conséquent, $1=(1-x)q_3(x)+x^{4}1=(1-x)q\_3(x)+x^4$. Tous les termes jusqu’au degré 3 sont exacts, et le premier terme omis est bien x⁴.

Pour développer un quotient près de 0, on ordonne numérateur et dénominateur par degrés croissants, puis on arrête dès que le degré demandé est atteint. Si le quotient se simplifie d’abord par un facteur commun, cette simplification est préférable : elle évite des calculs inutiles et peut lever une annulation en 0.

Avec une fraction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas en 0, la méthode fournit directement les premiers coefficients de la série entière formelle. Une décomposition en éléments simples peut être plus efficace lorsque le dénominateur est déjà factorisé en termes simples et que chaque élément est régulier en 0 ; sinon, le développement séparé de certains éléments peut nécessiter une série de Laurent.

Pour vérifier un résultat, on remultiplie le quotient tronqué par le diviseur. Les coefficients doivent coïncider avec ceux du dividende jusqu’au degré d’arrêt ; le premier écart autorisé apparaît au degré suivant.

Division euclidienne des polynômes. Elle ordonne habituellement les termes par degrés décroissants et produit une identité exacte avec un reste de degré inférieur à celui du diviseur. Pour 1 divisé par 1 − x, elle s’arrête immédiatement avec un quotient nul et un reste 1, tandis que la division croissante construit des coefficients locaux autour de 0.

Formule de Taylor. Taylor calcule les coefficients à partir des dérivées d’une fonction. La division selon les puissances croissantes les obtient par identification algébrique des coefficients. Pour 1/(1 − x), les deux voies donnent les mêmes termes près de 0, mais leurs procédures et leurs hypothèses ne sont pas les mêmes.

Décomposition en éléments simples. Elle réécrit globalement une fraction rationnelle comme somme de fractions plus simples. La division croissante vise seulement un quotient tronqué en un point. Une fraction peut être décomposée avant que chaque élément soit développé localement.

Terme constant nul au diviseur. Si g(0) = 0, la récurrence ne peut pas commencer par une division par g₀. Il faut d’abord extraire les puissances communes de x. Ainsi, x/(x − x²) se simplifie en 1/(1 − x), tandis que 1/x exige des puissances négatives et non une série entière ordinaire.

Égalité tronquée prise pour une identité globale. À l’ordre 3, 1/(1 − x) n’est pas égal à 1 + x + x² + x³. Le symptôme est un produit qui laisse x⁴. Il faut écrire le reste, ou préciser que l’égalité vaut à un terme d’ordre au moins 4 près.

Série formelle confondue avec une série convergente. La division détermine des coefficients sans garantir que leur somme représente une fonction pour une valeur donnée de x. Dans l’exemple, la série géométrique représente 1/(1 − x) seulement lorsque |x| < 1 ; au-delà, le calcul formel des coefficients subsiste, mais la somme ne converge pas vers cette fonction.

Développements limités — Pour replacer le quotient tronqué parmi les approximations locales et préciser le sens de l’ordre du reste.

série entière — Pour distinguer la construction formelle des coefficients des questions de rayon et de domaine de convergence.

Division euclidienne — Pour comparer l’ordre décroissant, la condition sur le reste et la portée globale de l’identité obtenue.

décomposition en éléments simples — Pour préparer certaines fractions rationnelles avant de développer séparément leurs termes autour de 0.