approximant de Padé

Pour approcher une courbe près d'un point, on peut tracer un polynôme qui en épouse les premiers mouvements. Un approximant de Padé autorise aussi une division : son numérateur et son dénominateur sont deux polynômes. Cette fraction peut donc se courber davantage et faire apparaître un pôle, là où son dénominateur s'annule.

Les coefficients sont choisis pour reproduire, au point de départ, autant de termes de la série de la fonction que les degrés disponibles le permettent. L'accord est local ; loin de ce point, il faut encore contrôler l'erreur et les éventuels pôles.

Soit f une fonction analytique au voisinage d'un point choisi, pris ici égal à 0. Pour deux entiers m et n positifs ou nuls, un approximant de Padé de type [m/n] est une fonction rationnelle R = P/Q. Le polynôme P a un degré au plus égal à m ; le polynôme Q a un degré au plus égal à n. Lorsque Q(0) n'est pas nul, on fixe habituellement Q(0) = 1 pour supprimer l'ambiguïté d'un facteur commun.

Les coefficients de P et Q sont déterminés afin que la série de R coïncide avec celle de f jusqu'au degré m + n. Cette condition s'écrit : $Q(x)f(x)-P(x)=O\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x^{m+n+1}\right)Q(x)f(x)-P(x)=O\backslash !\backslash left(x^\{m+n+1\}\backslash right)$ lorsque x tend vers 0. Le symbole O indique que les puissances strictement inférieures à m + n + 1 ont disparu dans la différence. Autour d'un autre centre, on remplace x par l'écart à ce centre.

Le cas n = 0 redonne un polynôme de Taylor tronqué. Avec n positif, le dénominateur peut représenter un comportement de type pôle et prolonger une approximation au-delà du domaine où un même polynôme est satisfaisant. Cet avantage n'est pas automatique : l'existence sous la normalisation choisie, les zéros de Q et l'erreur sur le domaine étudié doivent être vérifiés. Les approximants successifs peuvent aussi s'organiser en fractions continues, sans que toute suite ainsi formée converge partout.

Construisons l'approximant [1/1] de la fonction exponentielle au voisinage de 0. Les données sont sa série 1 + x + x²/2, un numérateur 1 + ax et un dénominateur 1 + bx. Les lettres a et b désignent les deux coefficients à trouver.

1. Imposons l'accord jusqu'au degré 2. Après multiplication par le dénominateur, les coefficients de x et de x² doivent s'annuler :

2. La seconde équation donne b = −1/2, puis la première donne a = 1/2. On obtient donc : $R(x)=\frac{1+x\mathrm{/}2}{1-x\mathrm{/}2}R(x)=\backslash frac\{1+x/2\}\{1-x/2\}$. Le schéma des coefficients permet de contrôler visuellement cette construction.

3. Évaluons en x = 1/2 : R(1/2) = (5/4)/(3/4) = 5/3 ≈ 1,6667. La valeur de référence est e^1/2 ≈ 1,6487 ; l'écart absolu vaut donc environ 0,0180.

4. Contrôlons avec le polynôme de Taylor de degré 2, qui utilise les mêmes trois premiers coefficients : 1 + 1/2 + (1/2)²/2 = 13/8 = 1,625. Son écart absolu est environ 0,0237. Pour cette valeur précise, l'approximant rationnel est légèrement plus proche ; ce seul test ne prouve rien pour tout un intervalle.

Dans une calculatrice ou une bibliothèque numérique, une fraction de polynômes peut remplacer l'évaluation directe d'une fonction. On choisit cette voie si l'erreur mesurée sur l'intervalle utile est meilleure, à coût comparable, que celle d'un polynôme ; sinon, le développement de Taylor ou une autre approximation reste préférable.

Pour une fonction possédant une singularité, les zéros du dénominateur donnent des candidats pour en reproduire les pôles. Il faut les confronter à la fonction visée : un zéro sans singularité correspondante peut être un artefact de l'approximation.

Pour approcher une fonction matricielle, on remplace la variable par une matrice dans les polynômes P et Q, puis on résout le système associé au dénominateur. Si cette matrice dénominateur est mal conditionnée ou singulière, une autre approximation ou un changement d'échelle est nécessaire.

Approximant de Padé et polynôme de Taylor. Le premier est un quotient P/Q ; le second est un polynôme, ce qui correspond au cas n = 0. Dans l'exemple, (1 + x/2)/(1 − x/2) possède un pôle en x = 2, tandis que 1 + x + x²/2 n'en possède aucun.

Approximant et fraction continue. Un approximant de Padé donné est une seule fonction rationnelle. Une fraction continue est une écriture emboîtée pouvant organiser une suite d'approximants. Le critère est donc la structure de l'expression, pas seulement le fait qu'elle comporte des divisions.

Pôle parasite. Le dénominateur de l'exemple vaut zéro en x = 2, alors que l'exponentielle y est finie. Une croissance brutale près de cette valeur signale un pôle créé par l'approximant ; il faut exclure cette zone ou choisir d'autres degrés.

Accord local. Reproduire m + n + 1 coefficients au voisinage de 0 ne garantit ni une petite erreur loin de 0 ni une convergence uniforme d'une suite d'approximants. Le bon réflexe consiste à mesurer l'erreur sur le domaine réellement utilisé, comme le contrôle en x = 1/2.

Cas défectueux. Pour certains couples de degrés et certaines séries, le système des coefficients peut ne pas fournir la forme normalisée attendue, ou P et Q peuvent partager un facteur. Il faut résoudre le système, simplifier les facteurs communs et annoncer les degrés effectifs plutôt que les degrés demandés.

Convergence d'une fraction continue. Relier des approximants successifs par une fraction continue ne suffit pas à établir sa limite. Il faut préciser la suite retenue et vérifier sa convergence dans le domaine considéré avant d'identifier sa limite à la fonction.

fonction rationnelle — Étudier les zéros du dénominateur et les pôles qui donnent aux approximants de Padé leur comportement propre.

développement en série de Taylor — Revoir les coefficients locaux que la construction de Padé impose au quotient de polynômes.

Fraction continue — Examiner l'écriture emboîtée qui relie certaines suites d'approximants rationnels.