développement en série de Taylor

Autour d'un point connu, une courbe lisse peut être suivie par un polynôme plus simple. La valeur de la fonction fixe le départ, sa dérivée donne la pente, puis les dérivées suivantes corrigent la courbure avec une précision croissante.

Le développement de Taylor rassemble ces corrections. Il reste local : plus on s'éloigne du point choisi, plus il faut surveiller le reste, c'est-à-dire l'écart entre la fonction et son polynôme.

Un développement de Taylor d'ordre n remplace localement une fonction par un polynôme construit avec ses dérivées en un point. Soit I un intervalle réel, a un point de I et f une fonction de I dans ℝ, dérivable jusqu'à l'ordre n en a. Pour un point x de I, le polynôme de Taylor est :

L'entier k indique l'ordre de dérivation, k! est sa factorielle et f⁽⁰⁾ signifie f. L'égalité complète s'écrit f(x) = T_n(x) + R_n(x), où le reste R_n(x) mesure exactement ce que le polynôme ne reproduit pas. La seule existence des dérivées en a détermine les coefficients ; une description ou une majoration utile du reste exige des hypothèses supplémentaires. Taylor-Young exprime localement le reste sous la forme o((x−a)ⁿ). Dans le cas scalaire, si f est de classe Cⁿ⁺¹ sur le segment joignant a à x, Taylor-Lagrange relie le reste à une dérivée d'ordre n+1 évaluée en un point intermédiaire, ce qui fournit une borne ; Taylor-Cauchy en donne une autre forme sous les mêmes hypothèses. La formule finie, historiquement établie par Brook Taylor sans précision initiale sur le reste, fonde ainsi l'approximation polynomiale locale.

Le développement réunit cinq éléments. Le centre a est le point où les informations sont connues. L'ordre n fixe la dernière dérivée utilisée. Les coefficients f^(k)(a)/k! enregistrent successivement la valeur, la pente et les corrections d'ordres supérieurs. Les puissances (x−a)^k font dépendre chaque correction de l'écart au centre. Enfin, le reste R_n(x) sépare le polynôme de la valeur exacte.

Le centre et l'ordre déterminent donc quelles dérivées calculer ; ces dérivées déterminent à leur tour tous les coefficients. Le reste dépend à la fois de l'ordre, du point x et des hypothèses de régularité imposées à la fonction. Ces données suffisent à construire T_n et, lorsque le reste est contrôlé, à encadrer l'erreur d'approximation. Le tracé choisi pour représenter les courbes ne fait pas partie de la définition.

Approchons e^0,1 au centre a = 0 et à l'ordre n = 3. Pour la fonction exponentielle, la valeur et toutes les dérivées en 0 valent 1. Les données sont donc x = 0,1, f^(k)(0) = 1 et les factorielles 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6.

1. Écrivons le polynôme : $T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}T\_3(x)=1+x+\backslash frac\{x^2\}\{2\}+\backslash frac\{x^3\}\{6\}$.

2. Remplaçons x par 0,1 : T₃(0,1) = 1 + 0,1 + 0,01/2 + 0,001/6.

3. Additionnons les corrections : 1 + 0,1 + 0,005 + 0,000166 667 = 1,105166 667. La figure rend visibles ces ajouts successifs et agrandit l'écart final.

4. Une évaluation indépendante donne e^0,1 ≈ 1,105170 186. Le reste vaut donc environ 0,000003 519, soit 3,519 × 10⁻⁶. Pour contrôler le calcul, la majoration de Taylor-Lagrange donne ici un écart inférieur à e^0,1 × 0,1⁴/4! ≈ 4,61 × 10⁻⁶ : l'écart observé respecte cette borne.

Pour calculer rapidement une valeur proche d'un point connu, on évalue un polynôme de faible degré. Si le point visé est trop éloigné ou si la précision demandée est forte, on augmente l'ordre ou on choisit un centre plus proche.

Pour étudier une limite locale, Taylor-Young hiérarchise les termes selon leur puissance et isole le premier terme non nul. Si une borne numérique de l'erreur est nécessaire, Taylor-Lagrange est préférable lorsque les dérivées requises sont contrôlables sur tout le segment.

Dans un calcul numérique, le geste décisif consiste à conserver le reste avec le polynôme. Sans estimation du reste, davantage de termes ne constitue pas à lui seul une garantie de précision au point considéré.

Développement de Taylor et série de Taylor. Le premier est une formule finie d'ordre n accompagnée d'un reste. La seconde est une somme infinie. Une fonction peut posséder des dérivées de tout ordre sans être égale à sa série de Taylor hors du centre.

Polynôme de Taylor et valeur exacte. Le polynôme T_n reproduit les dérivées jusqu'à l'ordre n au centre, mais il ne coïncide pas forcément avec f ailleurs. Dans l'exemple, 1,105166 667 reste distinct de e^0,1.

Taylor-Young et Taylor-Lagrange. Taylor-Young décrit un comportement asymptotique quand x tend vers a. Taylor-Lagrange fournit une expression du reste en un point intermédiaire et permet une majoration lorsque les hypothèses nécessaires sont vérifiées.

Dérivées connues seulement au centre. Elles déterminent le polynôme, mais ne suffisent pas à fournir automatiquement une forme de Lagrange ou de Cauchy du reste. Il faut vérifier la régularité sur l'intervalle entre a et x avant d'utiliser ces expressions.

Approximation locale prise pour une identité globale. Le symptôme est l'emploi du même polynôme loin de a sans borne d'erreur. Il faut estimer R_n(x), déplacer le centre ou restreindre le domaine d'utilisation.

Premier coefficient nul. Si une ou plusieurs dérivées s'annulent au centre, le premier terme non nul apparaît plus tard. Il ne faut pas conclure que la fonction est localement constante ; il faut poursuivre jusqu'au premier ordre informatif.

Ordre décalé dans la borne. Un polynôme de degré 3 fait intervenir, dans la forme de Lagrange usuelle, la dérivée d'ordre 4 et le facteur 4!. Dans l'exemple à x = 0,1, oublier ce décalage donne une mauvaise estimation du reste.

Développements limités — Pour replacer Taylor-Young dans le calcul asymptotique et comparer les termes près d'un point.

série entière — Pour passer d'un polynôme fini à une somme infinie et examiner son domaine de convergence.