formule de Taylor

Près de 0, la courbe de l'exponentielle se laisse imiter par des calculs élémentaires. Pour estimer e^0,2, on additionne 1, puis 0,2, puis des corrections de plus en plus petites : 0,02 et environ 0,00133. On obtient ainsi 1,22133, très proche de la valeur 1,22140 donnée par une calculatrice.

La formule de Taylor organise précisément cette imitation. Elle construit un polynôme à partir de la valeur de la fonction et de ses dérivées en un point choisi. Le reste mesure ce que ce polynôme ne reproduit pas.

La formule de Taylor approche localement une fonction suffisamment régulière par un polynôme. Le point a est le centre de l'approximation, x est le point où l'on évalue la fonction, n est le degré choisi et f^(k)(a) est la dérivée d'ordre k au centre. Le polynôme de Taylor d'ordre n est : $P_n(x)={\sum }_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^{k}P\_n(x)=\backslash sum\_\{k=0\}^\{n\}\backslash frac\{f^\{(k)\}(a)\}\{k!\}(x-a)^k$. La différence R_n(x) = f(x) − P_n(x) est le reste.

Les trois formes classiques ne donnent pas la même information. Taylor-Young décrit le comportement asymptotique du reste quand x tend vers a. Taylor-Lagrange, pour une fonction réelle scalaire assez dérivable sur le segment reliant a à x, exprime le reste à l'aide d'une dérivée d'ordre n + 1 en un point intermédiaire. Taylor-Laplace, aussi appelée formule avec reste intégral, représente ce reste par une intégrale lorsque la dérivée requise est continue.

Ces formules sont locales : augmenter le degré améliore souvent l'approximation près du centre, mais pas automatiquement sur tout l'intervalle. Elles s'étendent aux fonctions à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie pour les formes asymptotique et intégrale ; la forme de Lagrange avec un unique point intermédiaire est, en général, une propriété scalaire.

Soient a et x deux points distincts d'un intervalle, et n un entier naturel (n ≥ 0). Si n ≥ 1, supposons que la fonction réelle f est n fois dérivable sur le segment d'extrémités a et x, et n + 1 fois dérivable à l'intérieur de ce segment. Si n = 0, supposons que f est continue sur le segment et dérivable à l'intérieur. Alors il existe un point ξ strictement entre a et x tel que :

C'est la formule de Taylor-Lagrange. Pour n ≥ 1, si f admet des dérivées successives jusqu'à f^{(n − 1)} dans un voisinage de a et si f^{(n − 1)} est dérivable en a, Taylor-Young donne plutôt R_n(x) = o((x − a)ⁿ) lorsque x tend vers a. À l'ordre 0, cette conclusion demande simplement que f soit continue en a. Avec une dérivée d'ordre n + 1 continue sur le segment, Taylor-Laplace écrit : $R_n(x)=\frac{1}{n!}{\int }_a^x{f}^{(n+1)}(t)(x-t{)}^{n}dtR\_n(x)=\backslash frac\{1\}\{n!\}\backslash int\_a^x\; f^\{(n+1)\}(t)(x-t)^n\backslash ,dt$.

Le centre a et le point x doivent appartenir à un même intervalle du domaine, afin que tout le segment qui les relie reste accessible. Il faut aussi choisir l'information attendue : un équivalent local du reste, une valeur intermédiaire ou une borne issue d'une intégrale.

Pour Taylor-Lagrange à l'ordre n, vérifiez que f est n fois dérivable sur le segment fermé et n + 1 fois dérivable à l'intérieur. Pour le reste intégral, demandez que la dérivée d'ordre n + 1 soit continue sur le segment. Pour Taylor-Young à l'ordre n ≥ 1, f doit admettre des dérivées successives jusqu'à f^{(n − 1)} dans un voisinage de a, et f^{(n − 1)} doit être dérivable en a. À l'ordre 0, il suffit que f soit continue en a.

Contre-cas : la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0. Aucun polynôme de Taylor d'ordre 1 centré en 0 ne peut donc être construit à partir de sa dérivée. Selon le besoin, il faut traiter séparément x ≥ 0 et x ≤ 0, ou employer une approximation qui accepte ce point anguleux.

Approchons e^0,2 avec la formule de Taylor-Lagrange centrée en a = 0 et arrêtée au degré n = 3. Les données sont x = 0,2, f(x) = e^x et f^(k)(0) = 1 pour tout ordre k.

1. Écrivons le polynôme : $P_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}P\_3(x)=1+x+\backslash frac\{x^2\}\{2\}+\backslash frac\{x^3\}\{6\}$.

2. Remplaçons x par 0,2 : $P_3(\mathrm{0,2})=1+\mathrm{0,2}+\mathrm{0,02}+\mathrm{0,001}\bar{3}=\frac{458}{375}\approx \mathrm{1,221333}P\_3(0\{,\}2)=1+0\{,\}2+0\{,\}02+0\{,\}001\backslash overline\{3\}=\backslash frac\{458\}\{375\}\backslash approx1\{,\}221333$. La figure compare ce polynôme à l'exponentielle autour du centre.

3. Le reste vaut e^ξ(0,2)⁴/24 pour un nombre ξ compris entre 0 et 0,2. Comme 1 ≤ e^ξ ≤ e^0,2, sa valeur absolue est au plus e^0,2 × 0,2⁴/24, soit environ 0,00008143.

4. La calculatrice donne e^0,2 ≈ 1,22140276. L'erreur observée est donc environ 0,00006942, bien inférieure à la borne précédente.

5. Un contrôle simple consiste à ajouter l'erreur observée à 1,22133333 : on retrouve 1,22140275 après arrondi. Le signe positif est cohérent, car le reste de Lagrange contient ici uniquement des facteurs positifs.

Pour calculer rapidement une valeur près d'un point connu, choisissez un centre où les dérivées sont simples. Autour de 0, l'exponentielle est idéale ; loin de 0, déplacer le centre peut donner une meilleure précision avec le même degré.

Pour étudier une limite, conservez seulement les premiers termes qui ne s'annulent pas. Taylor-Young est alors souvent préférable, car son petit o indique l'ordre négligeable sans imposer de calculer un point intermédiaire inconnu.

Pour garantir une précision numérique, cherchez une borne de la dérivée d'ordre suivant sur tout le segment. Si cette borne est difficile à obtenir, le reste intégral ou une méthode numérique avec contrôle d'erreur peut être plus exploitable que la forme de Lagrange.

Formule de Taylor et développement limité. La formule relie une fonction à un polynôme et à un reste sous des hypothèses données. Un développement limité est une écriture asymptotique au voisinage d'un point. Par exemple, préciser un petit o relève du développement limité ; borner l'erreur à x = 0,2 par Lagrange fournit une information numérique supplémentaire.

Polynôme de Taylor et série de Taylor. Le polynôme s'arrête au degré n. La série comporte une infinité de termes et ne représente la fonction que là où elle converge vers celle-ci. Une fonction peut même être infiniment dérivable sans être égale à sa série de Taylor hors du centre.

Approximation affine et ordre supérieur. L'approximation affine conserve seulement la valeur et la dérivée première. Pour e^0,2, elle donne 1,2 ; le polynôme cubique donne environ 1,221333. Le degré utilisé tranche immédiatement entre les deux outils.

Approximation locale. Un faible reste près de a ne garantit rien loin de a. Le symptôme est une erreur qui augmente lorsque |x − a| grandit. Il faut alors déplacer le centre, augmenter le degré avec une nouvelle borne, ou découper l'intervalle.

Dérivée manquante. Un polynôme d'ordre 3 exige les dérivées jusqu'à l'ordre 3 au centre ; un reste de Lagrange associé exige en plus la dérivée d'ordre 4 sur l'intervalle pertinent. Si cette dernière manque, le polynôme peut exister sans que cette forme du reste soit disponible.

Valeurs vectorielles. Pour une fonction à plusieurs composantes, il n'existe généralement pas un même point ξ qui donne simultanément le reste de Lagrange de toutes les composantes. Il faut utiliser une estimation en norme, traiter les composantes avec leurs propres points intermédiaires, ou employer le reste intégral.

Degré croissant. Ajouter des termes ne force pas toute suite de polynômes de Taylor à converger vers la fonction. Si les approximations stagnent ou divergent, il faut étudier le reste ou le rayon de convergence de la série au lieu de se fier au seul degré.

Développements limités — Passer de la formule avec reste à une écriture asymptotique adaptée au calcul des limites.

fonction exponentielle — Étudier la fonction conductrice de l'exemple et la raison pour laquelle toutes ses dérivées lui sont égales.

série entière — Examiner la convergence d'une somme infinie de puissances et son lien avec les polynômes de Taylor.