AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction exponentielle
La fonction exponentielle décrit une croissance ou une décroissance continue dont le taux de variation reste proportionnel à la grandeur considérée : plus la valeur est grande, plus elle varie vite. La fonction de base e, notée exp ou x ↦ eˣ, associe à tout réel x un nombre positif et prend la valeur 1 en 0. Ses caractérisations par le logarithme, l’équation différentielle, la série entière et la formule d’Euler sont détaillées dans la suite. L’exemple guidé montre ensuite comment calculer une quantité initialement égale à 100 lorsque son taux de variation vaut 20 % de sa valeur.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la fonction exponentielle à une variation proportionnelle et à l’équation f′ = f.
- Calculer une croissance continue à partir d’une valeur initiale et contrôler le résultat.
- Identifier le rôle de la base, de l’exposant et de la loi qui transforme les sommes en produits.
- Distinguer exponentielle, logarithme népérien et loi exponentielle.
- Situer la série entière et la formule d’Euler dans l’extension complexe.
En clair
Une quantité vaut 100 et son rythme de croissance reste constamment égal à 20 % de sa valeur par unité de temps. Plus elle devient grande, plus elle gagne vite : son augmentation n’est donc pas la même à chaque étape.
La fonction exponentielle décrit précisément cette croissance continue proportionnelle. Avec une proportion négative, elle décrit au contraire une décroissance. Sa courbe reste toujours positive et passe par la valeur 1 à l’origine. Pour un taux k exprimé par unité de temps, elle associe aux durées t et s les facteurs ekt et eks : le facteur ek(t + s) associé à t + s est leur produit, et les exposants kt et ks sont sans dimension.
Définition
La fonction exponentielle de base e associe à tout nombre réel x le nombre positif ex. Elle se note exp, ou x ↦ ex. Le nombre e est sa base. Cette fonction est la réciproque du logarithme népérien, noté ln : pour tout réel x et tout réel positif y, .
Elle est aussi l’unique fonction f dérivable sur les réels qui vérifie f′(x) = f(x) pour chaque réel x et f(0) = 1. Pour tout réel k, l'unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant f'(x) = k f(x) et f(0) = 1 est x ↦ e^{kx} ; lorsque k = 0, il s'agit de la fonction constante 1. Si n désigne un entier naturel et n! sa factorielle, la même valeur se construit par la série entière . Cette somme converge pour tout réel x.
Plus généralement, une base réelle a doit satisfaire a > 0 et a ≠ 1. La fonction expa est alors l’unique fonction continue telle que expa(1) = a et pour tous réels x et y. Elle est la réciproque du logarithme de base a et sa dérivée est proportionnelle à sa valeur. Pour un nombre complexe z, l’exponentielle ez se définit par la même série. Si t est réel, i l’unité imaginaire, et si cos et sin notent les fonctions cosinus et sinus, la formule d’Euler donne .
De quoi c'est fait
Une exponentielle réelle réunit cinq éléments. La base a est un nombre positif différent de 1. L’exposant x est le réel donné en entrée. La valeur ax est toujours positive. Le point d’ancrage impose a0 = 1. Enfin, pour un second exposant y, la loi de composition transforme une somme d’exposants en produit de valeurs : .
La base commande le sens de variation : la fonction croît lorsque a > 1 et décroît lorsque 0 < a < 1. Elle commande aussi le coefficient de dérivation, égal au logarithme népérien de a. Pour la base e, ce coefficient vaut 1, donc la dérivée reproduit exactement la fonction. Ces relations définissent l’objet ; l’échelle ou le tracé choisi pour sa courbe ne le définissent pas.
Un exemple, pas à pas
Une quantité N varie continûment. À chaque instant, son taux de variation vaut 20 % de sa valeur par unité de temps. On cherche sa valeur après 5 unités de temps.
Données. La valeur initiale est N(0) = 100, le coefficient de croissance est 0,2 par unité de temps et la durée étudiée vaut 5 unités.
1. Le temps étant noté t et la dérivée de N étant notée N′, la proportionnalité entre variation et valeur s’écrit . Avec la base naturelle e et la donnée initiale, la solution est .
2. Pour t = 5, l’exposant vaut 0,2 × 5 = 1. On obtient donc .
3. Avec e ≈ 2,71828, le résultat arrondi au centième est N(5) ≈ 271,83. La quantité a donc augmenté de 171,83 en 5 unités de temps.
Le contrôle reprend les deux conditions : N(0) = 100 et la dérivée de 100e0,2t vaut bien 0,2 × N(t). La courbe associée rend visible l’accélération de la croissance sans changer le taux proportionnel de 20 %.
En pratique
Pour modéliser une population, on choisit une exponentielle lorsque l’augmentation instantanée reste proportionnelle à l’effectif. Si le même nombre d’individus s’ajoute à chaque unité de temps, un modèle linéaire convient mieux.
Pour une désintégration radioactive, le coefficient de proportionnalité est négatif : la quantité restante décroît tout en demeurant positive. Si la perte est une quantité fixe par unité de temps, l’exponentielle n’est pas le modèle approprié.
Dans un calcul, pour deux réels x et y, la relation ex+y = exey décompose un exposant en morceaux plus maniables. Pour retrouver l’exposant à partir d’une valeur positive, on emploie plutôt le logarithme népérien, qui effectue l’opération réciproque.
À ne pas confondre
Fonction logarithme népérien. Elle n’est pas une autre écriture de l’exponentielle, mais sa fonction réciproque. En notant exp l’exponentielle et ln le logarithme, le test consiste à composer les opérations : exp(ln 4) = 4 et ln(exp 4) = 4. L’exponentielle accepte tout réel en entrée ; le logarithme réel exige une entrée strictement positive.
Loi exponentielle. Cette loi est un modèle de probabilité, alors que la fonction qui associe ex à une entrée réelle x est déterministe. Une question sur une durée aléatoire et sa probabilité relève de la loi ; une équation vérifiée par une fonction f, comme f′ = f, relève de la fonction exponentielle.
Limites et pièges
Base égale à 1. Pour tout exposant réel x, la formule 1x donne toujours 1. La fonction est constante et n’a donc pas de réciproque : c’est pourquoi une base exponentielle a doit vérifier a ≠ 1.
Base nulle ou négative. L’écriture ax ne fournit pas une fonction réelle continue définie pour tout réel x ; par exemple, (−2)1/2 n’est pas réel. Pour une exponentielle réelle sur ℝ, il faut conserver a > 0.
Exposant négatif. Le signe de l’exposant ne devient pas le signe de la valeur : e−1 = 1/e reste positif. Il faut prendre le réciproque de e1, et non écrire −e.
Extension complexe. Pour un nombre complexe z, la série définit encore ez, mais la fonction n’est plus injective. Si i désigne l’unité imaginaire et π le nombre pi, la formule d’Euler entraîne . Un logarithme complexe réciproque exige donc un choix de branche, contrairement au logarithme réel sur les nombres positifs.
Pour aller plus loin
nombre e — Situe la base naturelle dont le choix rend l’exponentielle égale à sa dérivée.
fonction logarithme népérien — Approfondit la fonction réciproque qui retrouve l’exposant à partir d’une valeur positive.
formule d'Euler — Relie l’exponentielle complexe aux fonctions cosinus et sinus.
L'exponentielle complexe — Développe le prolongement de la série entière au plan complexe.
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