Probabilités et statistiquesObjet mathématique · Glossaire
fonction caractéristique
Le terme « fonction caractéristique » change de sens selon le domaine. Cette fiche développe son sens en probabilités : pour une variable aléatoire réelle X, φ_X(t) = E[e^(itX)] pour tout réel t, une moyenne complexe qui détermine entièrement sa loi. En théorie des ensembles, le terme désigne une fonction indicatrice ; en thermodynamique, une fonction d’état.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les sens ensembliste, probabiliste et thermodynamique du terme.
- Calculer la fonction caractéristique d'une variable à deux valeurs.
- Relier dérivées en zéro, moments et conditions d'existence.
- Éviter la confusion avec une fonction indicatrice et une fonction génératrice des cumulants.
En clair
Imaginez un tirage qui donne 0 deux fois sur trois et 1 une fois sur trois. Au lieu de conserver ces deux résultats séparément, on transforme chacun en un point tournant sur un cercle, puis on en fait une moyenne pondérée. Quand le paramètre de rotation change, cette moyenne dessine la fonction caractéristique.
Cette empreinte complexe contient assez d'information pour déterminer toute la loi du tirage. Le même nom désigne aussi, en théorie des ensembles, un simple interrupteur : 1 si un élément appartient à un ensemble, 0 sinon.
Définition
En probabilités, soit X une variable aléatoire réelle et soit t un nombre réel. Sa fonction caractéristique, notée φX, associe à t l'espérance du nombre complexe obtenu en appliquant à X l'exponentielle imaginaire : . Comme le module de eitX vaut 1, cette espérance existe pour toute variable aléatoire réelle. La fonction φX détermine de façon unique la loi de X.
Si X possède une densité, φX s'obtient par une transformée de Fourier de cette densité, avec un signe qui dépend de la convention retenue pour la transformée. Quand le moment d'ordre n existe dans les conditions permettant de dériver sous l'espérance, la dérivée n-ième en zéro restitue ce moment : .
En théorie des ensembles, le même terme est synonyme de fonction indicatrice : pour un sous-ensemble F de E, elle vaut 1 sur F et 0 hors de F. En thermodynamique, il désigne une fonction d'état de deux paramètres adaptés, suffisante pour décrire l'état d'un corps pur. Le contexte décide donc de l'objet étudié.
De quoi c'est fait
Dans la version probabiliste, quatre éléments travaillent ensemble. La variable aléatoire réelle X porte la loi à étudier. Le produit réel tX donne l'angle de rotation, tandis que l'unité imaginaire i intervient dans l'exposant : eitX est alors un nombre complexe du cercle unité. Enfin, l'espérance effectue la moyenne pondérée selon les probabilités de X.
La loi de X fixe donc les poids de la moyenne, tandis que t déplace les points eitX sur le cercle unité. Leur moyenne est φX(t), située dans le disque unité. Faire varier t construit toute la fonction. Ce sont la loi, l'exponentielle complexe et l'espérance qui définissent l'objet ; le tracé choisi pour le représenter n'en fait pas partie.
Un exemple, pas à pas
Considérons une variable aléatoire X qui vaut 0 avec la probabilité 2/3 et 1 avec la probabilité 1/3. Les données sont donc les deux valeurs 0 et 1, leurs probabilités respectives 2/3 et 1/3, et un paramètre réel t.
1. Pour X = 0, l'exponentielle complexe vaut eit×0 = 1.
2. Pour X = 1, elle vaut eit×1 = eit.
3. On pondère ces deux valeurs par leurs probabilités.
2. Pour X = 1, elle vaut eit×1 = eit.
3. On pondère ces deux valeurs par leurs probabilités.
La fonction obtenue est . Pour t = 0, les deux termes valent 2/3 et 1/3, donc φX(0) = 1.
4. Prenons ensuite t = π. Le résultat 0 donne le point 1 et le résultat 1 donne le point −1 sur l'axe réel.
5. La moyenne pondérée vaut (2/3) × 1 + (1/3) × (−1) = 1/3.
5. La moyenne pondérée vaut (2/3) × 1 + (1/3) × (−1) = 1/3.
Le diagramme associé matérialise cette moyenne sur le cercle unité. Le contrôle est immédiat : φX(π) = 1/3 est bien compris entre −1 et 1, et la probabilité plus forte de X = 0 place la moyenne du côté du point 1.
En pratique
Pour une variable aléatoire discrète, on multiplie chaque exponentielle complexe par la probabilité de la valeur correspondante, puis on additionne. Cette voie est naturelle quand les valeurs et leurs probabilités sont explicites ; une densité conduit plutôt à une intégrale de Fourier.
Pour retrouver des moments, on examine les dérivées de φX en zéro. Cette méthode convient seulement lorsque les moments concernés existent et que la dérivation est justifiée ; sinon, la fonction caractéristique reste définie, mais le calcul des moments par dérivation peut échouer.
Pour reconnaître une loi, on peut comparer sa fonction caractéristique à celle d'une loi connue. Une égalité pour tout paramètre réel établit l'égalité des lois ; quelques valeurs isolées ne suffisent pas.
À ne pas confondre
La fonction caractéristique d'une loi ne doit pas être confondue avec la fonction indicatrice d'un ensemble. La première prend un paramètre réel et produit généralement un nombre complexe ; la seconde teste une appartenance et ne produit que 0 ou 1. Dans l'exemple, φX(π) = 1/3 : cette valeur suffit à exclure une indicatrice.
La première fonction caractéristique φX ne se confond pas non plus avec sa transformée logarithmique, parfois appelée seconde fonction caractéristique. La première encode directement la loi ; la seconde sert de fonction génératrice des cumulants là où un logarithme cohérent est défini.
Limites et pièges
Le nom change de sens avec le domaine. Une formule qui ne produit que 0 et 1 signale l'indicatrice d'un ensemble ; une espérance d'exponentielle complexe signale la notion probabiliste. Il faut identifier le domaine avant tout calcul.
L'existence de φX n'entraîne pas celle de tous les moments. Le symptôme est une dérivée en zéro inexistante ou inutilisable pour l'ordre visé. Il faut alors étudier la loi directement au lieu d'appliquer automatiquement la formule des dérivées.
La relation avec la transformée de Fourier dépend d'une convention de signe. Si une référence emploie e−itx au lieu de eitx, les formules paraissent inversées sans désaccord mathématique. Il faut vérifier la convention avant de comparer deux expressions.
Une comparaison en un nombre fini de paramètres ne détermine pas une loi. Même si deux fonctions coïncident en t = 0, où toute fonction caractéristique vaut 1, il faut établir leur égalité pour tout t réel afin de conclure.
Pour aller plus loin
La variable aléatoire précise l'objet dont la fonction caractéristique encode la loi.
La loi de Bernoulli replace l'exemple à deux valeurs dans son cadre probabiliste naturel.
La transformée de Fourier éclaire le passage d'une densité à sa fonction caractéristique et les conventions de signe.
Le moment approfondit les quantités que les dérivées en zéro peuvent restituer sous les hypothèses appropriées.
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