Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
loi de Cauchy
La loi de Cauchy, parfois appelée loi de Lorentz en physique, est une loi de probabilité continue dont la densité par rapport à la mesure de Lebesgue est donnée par f(x) = 1 / [π(1 + x²)]. Cette densité est bien normalisée, mais la fonction x ↦ x · f(x) n'est pas absolument intégrable et son intégrale de Lebesgue n'existe pas : une variable aléatoire de loi de Cauchy ne possède ni espérance ni variance finie, ce qui la distingue fondamentalement des lois de carré intégrable. La valeur principale symétrique de l'intégrale vaut 0, mais elle ne constitue pas une espérance. La loi apparaît comme la distribution du quotient de deux variables aléatoires normales indépendantes, centrées et de même écart-type. Parmi ses propriétés remarquables : l'inverse d'une variable de Cauchy suit encore une loi de Cauchy, et la moyenne arithmétique de n variables indépendantes et de même loi de Cauchy standard suit également cette loi — la loi des grands nombres ne s'applique donc pas. La loi de Cauchy est un exemple de loi stable au sens de Lévy, de paramètre d'indice 1. Par ailleurs, une loi de Cauchy en optique, distincte de la précédente, décrit la variation de l'indice de réfraction n avec la longueur d'onde λ selon la relation nλ = a₀ + a₁/λ², où a₀ et a₁ sont des constantes propres au milieu transparent considéré. La longueur d'onde λ doit être exprimée dans une unité de longueur fixée et cohérente : a₀ est sans dimension et a₁ a la dimension d'une longueur au carré dans l'unité correspondante. Cette relation empirique constitue une approximation de la dispersion compatible avec des modèles issus de l'électromagnétisme.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la densité de Cauchy à l'absence d'espérance et de variance finies.
- Reconnaître les conditions qui font d'un quotient de deux normales une variable de Cauchy.
- Vérifier pourquoi la moyenne de variables de Cauchy ne relève pas de la loi des grands nombres.
- Distinguer la distribution de probabilité de la relation portant le même nom en optique.
En clair
Imaginez une série de mesures où une valeur très éloignée peut encore survenir assez souvent pour bouleverser la moyenne. Avec la loi de Cauchy, accumuler les observations ne calme pas ce phénomène : la moyenne de plusieurs variables indépendantes de même loi suit encore une loi de Cauchy.
Sa courbe est pourtant une densité bien normalisée. Le piège est ailleurs : ses queues sont assez lourdes pour empêcher l'existence d'une espérance et d'une variance finies.
Définition
La loi de Cauchy décrite ici est une loi de probabilité continue. Pour une valeur réelle notée x, sa densité f est . L'aire totale sous cette densité vaut 1. En revanche, la fonction qui à x associe x multiplié par f(x) n'est pas absolument intégrable, et l'intégrale de Lebesgue nécessaire pour définir l'espérance n'existe pas. Sa valeur principale symétrique vaut 0, mais elle ne définit pas une espérance. Une variable de Cauchy n'a donc ni espérance ni variance finie.
Cette loi apparaît à partir de deux variables aléatoires normales, notées U et V. Si U et V sont indépendantes, centrées et de même écart-type, leur quotient suit une loi de Cauchy. L'inverse 1/X suit encore une loi de Cauchy. La moyenne arithmétique de n variables indépendantes et de même loi de Cauchy standard conserve elle aussi cette loi : c'est une loi stable au sens de Lévy, d'indice 1.
En physique, le nom « loi de Lorentz » peut désigner cette distribution. En optique, une autre loi de Cauchy décrit l'indice de réfraction. Pour une longueur d'onde notée λ, l'indice nλ vérifie , où a0 et a1 dépendent du milieu transparent. La longueur d'onde λ doit être exprimée dans une unité de longueur fixée et cohérente : a0 est sans dimension et a1 a la dimension d'une longueur au carré dans l'unité correspondante. Cette relation empirique constitue une approximation de la dispersion compatible avec des modèles issus de l'électromagnétisme.
Le principe
Soit un entier positif n et des variables X1, …, Xn indépendantes, toutes de loi de Cauchy décrite par la densité donnée. Leur moyenne Mn est définie par :
La moyenne garde donc la même loi, quel que soit n. Elle ne se concentre pas autour d'une espérance, puisque cette espérance n'existe pas. La conclusion usuelle de la loi des grands nombres ne s'applique pas. De même, si X suit cette loi, son inverse 1/X suit encore une loi de Cauchy.
Quand l'utiliser
La formule de densité s'applique à une variable continue et à toute valeur réelle x. Elle donne une densité normalisée, mais cette seule normalisation ne suffit pas à garantir l'existence d'une espérance ou d'une variance finie.
La construction par quotient exige deux variables normales indépendantes, centrées et de même écart-type. Si l'une de ces conditions manque, on ne peut plus conclure avec cette règle que le quotient suit la loi de Cauchy ; il faut déterminer la loi du quotient à partir des variables réellement données.
La règle de stabilité de la moyenne utilisée ici suppose, elle aussi, des variables de Cauchy indépendantes. Enfin, la relation optique concerne un milieu transparent, son indice de réfraction et la longueur d'onde. Elle ne constitue pas une densité de probabilité.
Un exemple, pas à pas
On veut comparer la densité au centre et plus loin sur l'axe. Les données sont la formule f(x) = 1/[π(1 + x²)], les deux valeurs x = 0 et x = 2, ainsi que l'approximation π ≈ 3,1416. Aucune unité n'est utilisée dans cet exemple.
Étape 1. Pour x = 0, le dénominateur vaut π(1 + 0²) = π. On obtient .
Étape 2. Pour x = 2, le carré vaut 4, puis 1 + 4 = 5. La densité vaut donc .
Étape 3. Le rapport f(0)/f(2) vaut 5 : la densité au centre est cinq fois celle observée en x = 2. Un contrôle immédiat utilise le carré : remplacer 2 par −2 ne change pas le dénominateur, donc f(−2) = f(2). La courbe de densité rend visibles ce sommet central et cette symétrie.
En pratique
Lorsqu'une variable est présentée comme le quotient de deux variables normales indépendantes, centrées et de même écart-type, on reconnaît une loi de Cauchy. Il faut alors éviter de résumer cette variable par une espérance ou une variance finie.
Lorsqu'on moyenne plusieurs variables de Cauchy indépendantes, augmenter leur nombre ne fait pas disparaître la loi de départ. Au lieu d'invoquer la loi des grands nombres, on détermine directement la loi de la moyenne.
En physique, le nom « loi de Lorentz » peut renvoyer à la distribution. En optique, le contexte tranche : si l'on relie un indice de réfraction à une longueur d'onde et aux constantes d'un milieu, il s'agit de l'autre loi de Cauchy.
À ne pas confondre
Loi de Cauchy en probabilités et loi de Cauchy en optique. La première associe une densité de probabilité à une variable aléatoire ; la seconde relie l'indice nλ à la longueur d'onde λ. Pour trancher, il faut regarder le contexte, les variables et les unités : variable aléatoire x et densité de probabilité f en probabilités ; longueur d'onde λ, indice nλ et unité de longueur en optique.
Variables normales et variable de Cauchy. Deux variables normales ne deviennent pas une variable normale lorsqu'on prend leur quotient dans les conditions indiquées : ce quotient suit une loi de Cauchy. Le signe « quotient », plutôt qu'une somme, est ici le critère décisif.
Limites et pièges
Densité normalisée, moments absents. Une aire totale égale à 1 ne prouve pas que l'espérance existe. Ici, la fonction x ↦ x·f(x) n'est pas absolument intégrable et son intégrale de Lebesgue n'existe pas. Sa valeur principale symétrique vaut 0, mais elle ne définit pas l'espérance. Il faut donc vérifier l'intégrabilité avant tout calcul de moyenne théorique ou de variance.
Moyenne de n observations. Même lorsque n augmente, la moyenne de variables de Cauchy indépendantes suit encore une loi de Cauchy. Une apparente stabilisation numérique ne permet pas d'invoquer la loi des grands nombres ; il faut étudier la loi de la moyenne elle-même.
Deux formules sous un même nom. La densité 1/[π(1 + x²)] et la relation nλ = a0 + a1/λ² ne décrivent pas le même objet. Avant tout calcul, il faut identifier si les données sont probabilistes ou optiques.
Pour aller plus loin
Loi stable — Situez la loi de Cauchy parmi les distributions dont les combinaisons conservent la forme.
La première loi des grands nombres — Comparez ses hypothèses avec le cas de Cauchy, où l'espérance n'existe pas.
Une distribution pas comme les autres — Prolongez l'étude de la distribution de Cauchy et de son comportement atypique.
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