Loi stable

Prenons deux résultats aléatoires indépendants, distribués de la même façon. On les additionne, puis on recentre ou on change l'échelle du résultat. Avec une loi stable, la forme de la distribution obtenue reste celle du départ.

Cette permanence explique le mot « stable ». La dispersion peut changer et le centre peut se déplacer, mais on ne quitte pas la famille. La loi normale et la loi de Cauchy offrent deux visages très différents de ce phénomène.

Une loi non dégénérée est stable au sens de Lévy lorsque la somme pondérée de deux copies indépendantes peut toujours être ramenée à cette même loi par un changement d'échelle et un déplacement. Plus précisément, si X₁ et X₂ sont des copies indépendantes d'une variable X, alors, pour tous nombres positifs a et b, il existe un nombre positif c et un nombre réel d tels que :

Le symbole d'égalité en loi signifie que les deux membres ont la même distribution, sans être nécessairement égaux pour chaque réalisation. L'indice de stabilité α appartient à l'intervalle (0, 2] et impose $c=(a^{\alpha }+b^{\alpha }{)}^{1\mathrm{/}\alpha }c=(a^\backslash alpha+b^\backslash alpha)^\{1/\backslash alpha\}$. La famille comporte aussi un paramètre d'asymétrie, un paramètre d'échelle et un paramètre de localisation. Leur écriture exacte dépend de la convention de paramétrage, en particulier lorsque α = 1. La loi normale correspond à α = 2 et la loi de Cauchy à α = 1. Les lois stables sont aussi les lois limites possibles de sommes convenablement normalisées de variables indépendantes.

Soient X₁ et X₂ deux variables indépendantes ayant la même loi stable d'indice α. Pour tous coefficients positifs a et b, leur somme pondérée aX₁ + bX₂ a la loi d'une copie de départ multipliée par l'échelle suivante, puis translatée d'un réel d :

Le déplacement d dépend de la loi et des coefficients. Pour une loi strictement stable, ce déplacement peut être choisi nul.

Le critère porte sur des copies de même loi, indépendantes, et sur tous les couples de coefficients positifs. Il faut comparer des distributions entières, et non quelques caractéristiques comme leur centre ou leur dispersion. L'échelle obtenue doit être strictement positive ; une translation réelle est admise.

Si les variables ne sont pas indépendantes, leur somme peut conserver une forme pour une raison liée à leur dépendance : le critère ne conclut alors rien. De même, vérifier un seul choix de coefficients ne suffit pas à établir la stabilité. Pour des coefficients négatifs, une loi asymétrique peut voir son asymétrie inversée ; on revient donc à la formulation avec coefficients positifs, ou l'on traite séparément le cas symétrique.

Considérons deux variables X₁ et X₂ indépendantes, chacune de loi de Cauchy standard. Les données sont un centre égal à 0, une échelle égale à 1 et la fonction caractéristique ${\phi }_X(t)=e^{-\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }}\backslash varphi\_X(t)=e^\{-|t|\}$. Nous étudions leur moyenne Y = (X₁ + X₂)/2.

1. L'indépendance permet de multiplier les fonctions caractéristiques de X₁/2 et de X₂/2.

2. Pour tout nombre réel t, on obtient : ${\phi }_Y(t)={\phi }_X(t\mathrm{/}2{)}^2=e^{-\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\mathrm{/}2}{e}^{-\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\mathrm{/}2}=e^{-\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }}\backslash varphi\_Y(t)=\backslash varphi\_X(t/2)^2=e^\{-|t|/2\}e^\{-|t|/2\}=e^\{-|t|\}$.

3. Cette fonction caractéristique est exactement celle de la loi de départ. La moyenne Y suit donc elle aussi la loi de Cauchy standard.

Le contrôle se refait avec la somme S = X₁ + X₂ : sa fonction caractéristique vaut e^−2|t|, celle d'une loi de Cauchy d'échelle 2. Diviser S par 2 ramène bien l'échelle à 1. Le schéma de cette opération rend visible le retour exact à la loi initiale.

Pour reconnaître une candidate stable, on prend deux copies indépendantes, on forme plusieurs sommes pondérées et on cherche un changement d'échelle accompagné, si nécessaire, d'un déplacement. Si la forme change selon les poids, il faut choisir une autre famille de lois.

Pour étudier des sommes normalisées, l'indice α indique l'échelle pertinente : une somme de n copies a une échelle proportionnelle à n^1/α. Lorsque α = 2, le cas normal retrouve l'échelle en √n ; lorsque α = 1, le cas de Cauchy donne une échelle en n.

Une fonction caractéristique est souvent préférable à une densité pour contrôler la stabilité, car l'indépendance transforme la fonction de la somme en produit. Une densité reste utile pour visualiser la forme, mais elle peut ne pas disposer d'une expression élémentaire.

Une loi stable n'est pas simplement une loi dont les paramètres peuvent être estimés de façon stable. Le test porte sur la loi d'une somme de copies indépendantes après changement d'échelle et translation, pas sur la sensibilité d'une estimation.

La stabilité est plus exigeante que la divisibilité infinie. Une loi stable peut être décomposée, pour tout entier positif n, en somme de n variables indépendantes de même loi après ajustement. La réciproque n'est pas automatique : la seule existence de telles décompositions ne garantit pas la conservation de forme pour tous les poids.

Le théorème central limite ordinaire met en avant la loi normale sous une hypothèse de variance finie. Le cadre stable est plus large : des sommes normalisées peuvent avoir une limite stable non normale lorsque le comportement des queues ne permet pas ce cadre ordinaire.

Au seuil α = 2, la loi stable non dégénérée est normale. Le paramètre d'asymétrie ne produit alors plus de forme asymétrique distincte ; il ne faut pas lui attribuer un effet visible.

Lorsque 0 < α < 2, la variance d'une loi stable non dégénérée n'est pas finie. Lorsque α ≤ 1, sa moyenne n'est pas finie non plus. Calculer ces moments comme s'ils existaient peut donc donner une interprétation trompeuse ; on décrit plutôt la localisation, l'échelle et les quantiles.

Le cas α = 1 demande une vigilance de paramétrage. Selon la convention choisie, une modification d'échelle peut aussi modifier l'expression du paramètre de localisation. Il faut annoncer la convention avant de comparer deux quadruplets de paramètres.

Une égalité de moyenne et de variance ne prouve jamais ici l'égalité en loi. Ces moments peuvent même ne pas exister. Le contrôle fiable compare les distributions, par exemple au moyen de leurs fonctions caractéristiques.

La loi de Cauchy donne un cas stable d'indice 1 dont la moyenne de deux copies conserve exactement la distribution.

Le théorème central limite situe le cas normal parmi les limites de sommes lorsque la variance est finie.

La fonction caractéristique fournit l'outil de calcul qui transforme l'indépendance en produit et permet d'identifier la loi d'une somme.

La convergence en loi précise le sens dans lequel une suite de sommes normalisées peut tendre vers une loi stable.