AnalyseFormule · Glossaire
convergence en loi
Soit (Xₙ) une suite de variables aléatoires réelles et Y une variable aléatoire réelle, pas nécessairement définies sur un même espace de probabilité. On dit que (Xₙ) converge en loi vers Y si F_{Xₙ}(x) converge vers F_Y(x) pour tout point de continuité x de la fonction de répartition F_Y. Cette convergence compare uniquement les distributions, pas les valeurs prises par les variables.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter la convergence en loi comme un rapprochement des distributions.
- Vérifier le critère aux points de continuité de la fonction de répartition limite.
- Refaire un exemple de lois de Bernoulli et lire ses paliers.
- Distinguer convergence en loi, convergence en probabilité et convergence des moments.
En clair
Imaginez une pièce dont la probabilité de tomber sur pile change légèrement à chaque lancer : 3/4, puis 3/5, puis de plus en plus près de 1/2. Chaque lancer peut donner 0 ou 1, sans que les résultats successifs se rapprochent nombre par nombre. En revanche, la répartition des probabilités se rapproche de celle d'une pièce équilibrée.
La convergence en loi décrit précisément ce rapprochement des distributions. Elle compare les probabilités cumulées, pas les réalisations individuelles.
Définition
Pour une variable aléatoire réelle Z, sa fonction de répartition, notée FZ, associe à chaque réel x la probabilité que Z soit inférieure ou égale à x. Une suite de variables aléatoires réelles Xn converge en loi vers une variable aléatoire réelle Y lorsque les fonctions FXn se rapprochent de FY en tout réel où FY est continue.
Avec le symbole , le critère s'écrit : . Les variables Xn et Y n'ont pas besoin d'être construites sur le même espace de probabilité, car seule leur loi intervient. Aux points de saut de FY, cette définition n'exige aucune convergence des valeurs FXn(x).
Ce mode de convergence est faible : il renseigne sur les distributions, mais ne garantit pas que Xn et Y prennent des valeurs proches lors d'une même expérience. Il intervient notamment dans le théorème central limite pour décrire l'approche d'une loi normale par des moyennes normalisées.
Le principe
Soient Xn des variables aléatoires réelles et Y une variable aléatoire réelle. Pour chaque réel x, on calcule les probabilités cumulées FXn(x) = P(Xn ≤ x) et FY(x) = P(Y ≤ x). Si, pour tout point x où FY est continue, la première quantité tend vers la seconde, alors Xn converge en loi vers Y.
Le verdict porte donc sur toutes les valeurs de seuil continues pour la loi limite, et non sur quelques probabilités choisies.
Quand l'utiliser
Le critère s'applique à des variables aléatoires à valeurs réelles. Il faut connaître la fonction de répartition de chaque Xn et celle de la candidate Y. La vérification porte sur tout réel x où FY est continue ; les points de saut sont expressément exclus du test. Aucune réalisation commune des variables n'est nécessaire.
Comparer seulement une moyenne ou quelques probabilités ne suffit pas. Par exemple, si Xn vaut n avec probabilité 1/n et 0 sinon, sa moyenne vaut toujours 1, alors que sa loi tend vers la variable constante 0. Il faut revenir aux fonctions de répartition, ou à un autre critère de convergence en loi établi dans le cadre étudié.
Un exemple, pas à pas
On considère une variable Xn qui vaut 1 avec la probabilité et 0 sinon. La variable limite Y vaut 0 ou 1 avec la même probabilité 1/2.
1. Pour x < 0, les deux fonctions de répartition valent 0.
2. Pour 0 ≤ x < 1, . Cette valeur tend vers 1/2, qui est FY(x).
3. Pour x ≥ 1, les deux fonctions valent 1.
2. Pour 0 ≤ x < 1, . Cette valeur tend vers 1/2, qui est FY(x).
3. Pour x ≥ 1, les deux fonctions valent 1.
La fonction FY est continue hors de 0 et 1. Sur chacun de ces intervalles de continuité, le critère est satisfait : Xn converge donc en loi vers Y. Un contrôle numérique donne, entre 0 et 1, FX2(x) = 1/4 et FX5(x) = 2/5, deux valeurs qui se rapprochent de 1/2. Le graphique permet de comparer exactement ces trois paliers.
En pratique
Dans le théorème central limite, on centre et normalise des moyennes, puis on décrit leur distribution limite par une loi normale. La convergence en loi convient lorsque l'objectif est d'approximer des probabilités de seuil.
Pour une suite de modèles probabilistes, on compare leurs fonctions de répartition à celle d'un modèle limite. Si l'on doit au contraire garantir que deux valeurs observées sur une même expérience deviennent proches, la convergence en probabilité est l'outil adapté.
Dans un calcul, le bon réflexe consiste à repérer d'abord les discontinuités de la fonction de répartition limite. On vérifie ensuite la limite des probabilités cumulées sur les autres seuils.
À ne pas confondre
Convergence en probabilité. Elle exige que Xn et Y soient comparables sur un même espace et que la probabilité de |Xn − Y| > ε tende vers 0 pour tout ε positif. La convergence en loi compare seulement les distributions. Ainsi, des variables indépendantes ayant toutes la même loi que Y convergent en loi vers Y, mais pas nécessairement en probabilité vers cette variable Y.
Convergence des fonctions de répartition en tout point. Le critère de convergence en loi ne demande la limite qu'aux points de continuité de FY. Pour Xn = 1/n et Y = 0, la convergence en loi est acquise, bien que FXn(0) = 0 et FY(0) = 1.
Limites et pièges
Un saut de la loi limite. Si FY saute en x, l'absence de convergence de FXn(x) ne réfute pas la convergence en loi. Le cas Xn = 1/n et Y = 0 le montre au seuil 0 : il faut tester les points de continuité.
Des moments trompeurs. La convergence en loi n'entraîne pas, à elle seule, la convergence des moyennes. Si Xn vaut n avec probabilité 1/n et 0 sinon, Xn converge en loi vers 0, mais son espérance reste égale à 1. Une condition supplémentaire de contrôle des grandes valeurs est nécessaire avant de passer à la limite dans une moyenne.
Des valeurs non couplées. Deux variables peuvent avoir des lois très proches sans être définies sur le même espace de probabilité. Il serait alors dépourvu de sens de soustraire leurs réalisations. Il faut comparer leurs distributions plutôt que leurs valeurs terme à terme.
Pour aller plus loin
La fonction de répartition détaille l'outil utilisé dans le critère et la lecture de ses sauts.
La Convergence en probabilité précise un mode plus exigeant, fondé sur la proximité des valeurs sur un même espace probabilisé.
La fiche variable aléatoire revient sur l'objet dont la loi est suivie au fil de la suite.
L'article Théorème central limite et lois des grands nombres : un grand nombre de lois ! replace cette convergence dans son application classique aux moyennes normalisées.
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