Probabilités et statistiquesThéorème · Glossaire
Slutsky (théorème de)
Le théorème de Slutsky combine deux limites : si X_n converge en loi vers X et Y_n en probabilité vers une constante c, les lois limites de leur somme et de leur produit sont celles de X + c et de cX. Pour le quotient, la règle donne X/c à condition que c soit non nul et que le quotient soit défini. Ce résultat permet ainsi de remplacer asymptotiquement par sa constante limite le terme qui converge en probabilité.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer les convergences en loi et en probabilité mobilisées par le théorème.
- Appliquer Slutsky à une somme, un produit et un quotient dans un exemple vérifiable.
- Reconnaître les cas où une limite nulle ou aléatoire empêche l’application directe.
En clair
Imaginez une quantité aléatoire dont le comportement finit par se stabiliser, puis un facteur de correction qui se rapproche de plus en plus du nombre 2. À grande échelle, ce facteur se comporte comme 2 : on peut l’ajouter, le multiplier ou, s’il ne vaut pas zéro, diviser par lui dans le calcul de la loi limite.
Le théorème de Slutsky rend ce remplacement rigoureux. Le facteur reste éventuellement aléatoire à chaque étape, mais ses écarts à la constante deviennent improbables.
Définition
Le théorème de Slutsky est une règle de passage à la limite pour des suites de variables aléatoires. On note Xn la première suite et X sa limite en loi. On note Yn la seconde suite et c sa limite constante en probabilité. Aucune indépendance entre Xn et Yn n’est requise.
Dans ces conditions, la somme et le produit convergent en loi selon les relations suivantes : et . Si c est non nul et si le quotient est défini, il vérifie aussi . Lorsque Yn = 0, on peut attribuer au quotient une valeur arbitraire : la probabilité de cet événement tend vers zéro. Une convergence presque sûre de Yn vers c suffit, car elle entraîne sa convergence en probabilité.
Le résultat autorise donc à remplacer asymptotiquement un terme par sa limite constante à l’intérieur d’une opération continue. Il ne dit pas que Yn est égal à c pour un rang fini, ni que Xn converge en probabilité.
Le principe
Si Xn converge en loi vers une variable aléatoire X et si Yn converge en probabilité vers une constante c, alors :
Lorsque c ≠ 0 et que le quotient est défini, on a en plus : . Si Yn = 0, le quotient peut recevoir une valeur arbitraire sur cet événement, dont la probabilité tend vers zéro. Les mêmes conclusions restent vraies si Yn converge presque sûrement vers c.
Quand l'utiliser
Le cadre est celui de suites de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé. Il faut d’abord établir la convergence en loi de Xn vers X. Il faut ensuite établir la convergence en probabilité de Yn vers une constante c ; une convergence presque sûre vers cette constante est également suffisante. L’indépendance des deux suites n’est pas une hypothèse.
Pour un quotient, il faut en outre c ≠ 0. Si c = 0, les dénominateurs se rapprochent précisément de la valeur où la division n’est pas continue, et Slutsky ne fournit aucune loi limite pour Xn/Yn. Il faut alors étudier directement le rapport, souvent après un changement d’échelle.
Un exemple, pas à pas
Pour chaque entier n ≥ 1, la variable Xn suit exactement la loi normale centrée réduite. La variable Yn est déterministe et vaut 2 + 1/n. Ainsi, Xn converge en loi vers une variable X de même loi, tandis que Yn converge vers 2. La figure rend visible cette seconde convergence.
1. Pour la somme, Xn + Yn suit la loi normale de moyenne 2 + 1/n et de variance 1. Slutsky donne une loi normale de moyenne 2 et de variance 1 à la limite.
2. Pour le produit, YnXn suit la loi normale de moyenne 0 et de variance (2 + 1/n)2. Sa loi limite est normale, de moyenne 0 et de variance 4.
3. Comme la constante limite vaut 2 ≠ 0, Xn/Yn converge vers X/2, qui suit la loi normale de moyenne 0 et de variance 1/4.
Contrôle au rang n = 10 : Y10 = 2,1. Les variances du produit et du quotient valent respectivement 4,41 et 100/441 ≈ 0,227 ; elles se rapprochent bien de 4 et de 0,25.
En pratique
En statistique asymptotique, Slutsky intervient lorsqu’un estimateur possède une loi limite et qu’un paramètre inconnu est remplacé par un estimateur convergeant en probabilité. On obtient alors une statistique dont la loi limite reste exploitable.
Pour construire une statistique normalisée, on vérifie séparément la loi limite du numérateur et la convergence du facteur d’échelle vers une constante non nulle. Si le facteur tend vers zéro, une autre normalisation doit être recherchée.
Dans une démonstration, le bon geste consiste à isoler le terme qui converge en loi et celui qui devient asymptotiquement constant. Si les deux limites restent aléatoires, il faut plutôt établir leur convergence jointe.
À ne pas confondre
Le théorème de l’application continue transforme une seule convergence par une fonction continue. Slutsky en fournit un usage à deux suites lorsque l’une tend vers une constante. Si les deux arguments ont des limites aléatoires, la convergence marginale ne suffit plus : une convergence jointe est nécessaire.
La méthode delta traite une transformation différentiable d’un estimateur après changement d’échelle. Slutsky combine des limites déjà obtenues. Lorsque la transformation doit être linéarisée pour trouver la loi limite, c’est la méthode delta qui apporte l’étape supplémentaire.
Limites et pièges
Dénominateur nul. Si Yn converge en probabilité vers 0, le quotient atteint le point de discontinuité de la division : il faut analyser le rapport ou modifier son échelle. Même lorsque c ≠ 0, Yn peut encore s’annuler à certains rangs ; le quotient doit alors être défini arbitrairement sur cet événement, dont la probabilité tend vers zéro.
Limite aléatoire pour le second terme. Remplacer c par une variable Y sans autre hypothèse rend l’énoncé faux en général. Deux convergences marginales n’imposent pas la dépendance limite ; il faut prouver la convergence jointe du couple (Xn, Yn).
Égalité prématurée. La convergence de Yn vers c n’autorise pas à écrire Yn = c à rang fini. Dans l’exemple, Y10 vaut 2,1 et non 2 ; seules les lois limites emploient la constante 2.
Mauvais sens d’implication. La convergence presque sûre entraîne la convergence en probabilité, mais la réciproque est fausse en général. Pour appliquer Slutsky, la convergence en probabilité suffit : demander davantage alourdirait inutilement la preuve.
Pour aller plus loin
La convergence en loi précise le mode de convergence porté par la conclusion du théorème.
La Convergence en probabilité explique pourquoi un terme aléatoire peut devenir asymptotiquement constant.
Le théorème central limite fournit fréquemment la première convergence en loi que Slutsky combine ensuite avec un facteur estimé.
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