Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Équi-intégrables (variables aléatoires)
Lorsqu’une suite de variables aléatoires converge presque sûrement ou en probabilité, son équi-intégrabilité garantit la convergence en moyenne absolue, donc celle des espérances. Formellement, une famille est équi-intégrable si le supremum des espérances des valeurs absolues au-delà d'un seuil c tend vers zéro uniformément quand c tend vers l'infini. L'équi-intégrabilité est la condition précise pour que la convergence presque sûre implique la convergence en espérance.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter l’équi-intégrabilité comme un contrôle uniforme des valeurs extrêmes.
- Appliquer le critère par les espérances de queue.
- Vérifier un exemple exact et reconnaître un contre-exemple borné dans L1.
En clair
Imaginez plusieurs jeux donnant presque toujours 0, mais parfois un gain très grand. Pour savoir si leurs gains moyens se comportent bien, il ne suffit pas que chaque gros gain soit rare. Il faut que, quel que soit le jeu choisi, la part de moyenne due aux gains dépassant un seuil devienne négligeable lorsque ce seuil augmente.
Cette maîtrise commune des valeurs extrêmes est l’équi-intégrabilité. Elle empêche une quantité d’espérance de se cacher toujours plus loin dans la queue de distribution.
Définition
Soit une famille de variables aléatoires intégrables, notée . Pour un seuil positif c, on ne conserve dans chaque valeur absolue |Xi| que la partie située sur l’événement |Xi| > c. La famille est équi-intégrable lorsque ces contributions extrêmes deviennent petites simultanément pour tous les indices.
Le critère complet s’écrit : . Le symbole vaut 1 lorsque |Xi| dépasse c et 0 sinon. Le supremum impose un même contrôle à toute la famille, et pas un seuil adapté séparément à chaque variable.
Pour une suite qui converge presque sûrement vers une variable X, l’équi-intégrabilité permet de passer à la convergence en moyenne absolue, donc aux espérances : et . Plus généralement, convergence en probabilité et équi-intégrabilité donnent cette même convergence en moyenne absolue.
Un exemple, pas à pas
Sur l’espace de probabilités Ω = (0, 1) muni de la mesure uniforme, prenez un entier positif n. La variable Xn vaut n lorsque le résultat appartient à (0, 1/n2] et vaut 0 sinon. Les données sont donc une grande valeur n et une probabilité 1/n2.
1. Pour tout résultat fixé strictement supérieur à 0, l’intervalle (0, 1/n2] finit par ne plus le contenir. Ainsi, Xn converge presque sûrement vers 0.
2. L’espérance absolue est . Elle tend donc vers 0.
3. Pour un seuil c, seuls les entiers n > c contribuent. La plus grande espérance de queue est alors .
4. Cette quantité tend vers 0 quand c augmente : la suite est équi-intégrable. Le contrôle peut être refait avec c = 4 : le premier entier admissible est 5, et le supremum vaut exactement 1/5.
En pratique
Lorsqu’une suite de variables converge presque sûrement, on examine ses queues avant de faire passer la limite sous le signe espérance. Si leur contribution est uniformément négligeable, l’équi-intégrabilité justifie le passage aux moyennes.
Pour tester une famille, on fixe un seuil c, on calcule l’espérance portée par |X| > c, puis on prend le pire cas de la famille. Le bon signal est que ce pire cas tend vers 0 quand c augmente.
Si ce supremum reste éloigné de 0, la convergence presque sûre ne suffit pas pour conclure sur les espérances. Il faut alors conserver le calcul des queues au lieu de remplacer la variable par sa limite.
À ne pas confondre
Bornée dans L1. Une famille est bornée dans L1 lorsque ses espérances absolues ont une borne commune. Cette condition ne contrôle pas l’endroit où se trouve la masse. Par exemple, Yn vaut n sur (0, 1/n] et 0 ailleurs : son espérance absolue vaut toujours 1, tandis que son espérance de queue reste égale à 1 dès que n > c. La famille n’est donc pas équi-intégrable.
Le critère qui tranche est la disparition uniforme des queues, plus exigeante qu’une simple borne commune des espérances absolues. La figure compare ce contre-exemple à la suite Xn, dont la queue maximale décroît vers 0.
Limites et pièges
Contrôle variable par variable. Pour chaque Xn intégrable, sa propre espérance de queue tend vers 0. Ce constat ne suffit pas : le seuil doit fonctionner uniformément pour tous les n, ce que vérifie le supremum.
Convergence presque sûre isolée. La suite Yn vaut n sur (0, 1/n] et converge presque sûrement vers 0, mais son espérance reste égale à 1. Le symptôme est une masse moyenne constante repoussée vers des valeurs toujours plus grandes ; il faut tester les queues avant de conclure.
Seuil fixé. Obtenir une petite valeur pour un seul seuil, comme c = 4, n’établit pas à lui seul une limite. Il faut étudier le pire cas pour tout c et montrer sa tendance vers 0 lorsque c tend vers l’infini.
Pour aller plus loin
La notion de variable aléatoire précise comment une valeur numérique est associée aux résultats d’une expérience. Ce cadre aide à relire les événements, probabilités et espérances employés dans le critère d’équi-intégrabilité.
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