Probabilités et statistiquesThéorème · Glossaire
Limite central (théorème)
Le théorème central limite est l'un des résultats les plus importants de la théorie des probabilités. Il affirme que la somme normalisée d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, ayant une espérance finie et une variance finie strictement positive, converge en loi vers une variable aléatoire de loi normale. Plus précisément, si les variables ont une espérance mu et une variance sigma au carré, avec sigma strictement positif, la somme renormalisée converge vers une loi normale centrée réduite. Ce théorème explique l'omniprésence de la loi normale en statistique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Formuler les hypothèses et la conclusion du théorème central limite.
- Normaliser une somme à partir de son espérance et de son écart-type.
- Vérifier le calcul sur 100 lancers d’une pièce équilibrée.
- Distinguer convergence en loi, loi des grands nombres et normalité exacte.
- Repérer les échecs liés à la variance, à la dépendance et au faux seuil n = 30.
En clair
Lancez une pièce équilibrée 100 fois et comptez les faces. Le résultat varie d’une série à l’autre, mais il se concentre autour de 50. Si l’on recommence l’expérience, les nombres obtenus dessinent peu à peu une cloche.
Le théorème central limite explique cette forme. Quand on additionne beaucoup de petites contributions indépendantes et comparables, puis que l’on recentre et change l’échelle, leur somme se comporte approximativement comme une loi normale.
Définition
Le théorème central limite décrit le comportement asymptotique d’une somme de variables aléatoires. Pour chaque entier positif i, la variable Xi représente une contribution. Les variables X1, X2, … sont supposées indépendantes, de même loi, d’espérance finie μ et de variance finie σ2, avec σ strictement positif. La somme des n premières contributions est notée Sn.
On soustrait à Sn sa moyenne nμ, puis on divise par son écart-type σ√n. La variable ainsi normalisée est . Lorsque n tend vers l’infini, sa loi converge vers la loi normale centrée réduite, notée N(0, 1). Il s’agit d’une convergence en loi : les probabilités associées à la somme normalisée se rapprochent de celles de la loi normale, sans affirmer que les valeurs elles-mêmes convergent.
Une formulation équivalente concerne la moyenne des observations, notée : l’écart entre cette moyenne et μ, multiplié par √n puis divisé par σ, converge lui aussi en loi vers N(0, 1). Cette normalité est en général une approximation pour un n fini.
Le principe
Si les variables aléatoires X1, X2, … sont indépendantes, de même loi, d’espérance μ et de variance σ2 finies, avec σ > 0, alors leur somme Sn vérifie :
Le symbole signifie « converge en loi ». Le centrage retire la moyenne de la somme ; la division par σ√n ramène sa dispersion à l’échelle 1.
Quand l'utiliser
Dans sa forme classique, le théorème porte sur une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Leur espérance μ et leur variance σ2 doivent être finies, et σ doit être non nul pour que la normalisation ait un sens. Ces conditions permettent d’obtenir une approximation normale de la somme ou de la moyenne lorsque le nombre n d’observations augmente.
Une longue série de mesures fortement dépendantes ne satisfait pas ces hypothèses : ajouter des observations presque répétées n’apporte pas des contributions indépendantes. La forme classique ne permet alors pas de conclure. Il faut soit modéliser la dépendance et employer un théorème adapté, soit étudier directement la loi de la somme.
Un exemple, pas à pas
Une pièce équilibrée est lancée 100 fois. Pour le lancer numéro i, la variable Xi vaut 1 si la pièce montre face et 0 sinon. Les 100 variables sont supposées indépendantes et de même loi. Chacune a pour espérance 0,5 et pour variance 0,25. La somme S100 compte donc le nombre de faces.
1. La moyenne de la somme vaut 100 × 0,5 = 50 faces.
2. Sa variance vaut 100 × 0,25 = 25, donc son écart-type vaut √25 = 5 faces.
3. Pour une série donnant 60 faces, le score normalisé vaut . Le résultat se situe donc à deux écarts-types au-dessus de la moyenne.
4. Le théorème autorise à approcher la loi de ce score par N(0, 1), tout en gardant à l’esprit que 100 est fini et que le nombre de faces reste entier.
Le contrôle est refaisable : l’intervalle de trois écarts-types autour de 50 va de 35 à 65 faces, et sa normalisation donne bien l’intervalle de −3 à 3. La représentation associe chaque nombre de faces à son score normalisé et place 60 au score 2.
En pratique
Pour additionner de nombreux résultats indépendants de même nature, on calcule d’abord la moyenne et l’écart-type attendus de la somme. La loi normale devient une approximation pratique lorsque les hypothèses du modèle sont satisfaites et qu’un contrôle quantitatif, tenant compte notamment de n et des queues de la loi, confirme sa précision ; sinon, une simulation ou la loi exacte est préférable.
Pour une proportion issue d’essais indépendants, comme le nombre de faces, le théorème ramène l’écart observé à un score normalisé. Si le nombre d’essais est faible ou si les résultats possibles sont très déséquilibrés, le calcul binomial exact évite une approximation grossière.
Pour une moyenne de mesures comparables, la fluctuation typique décroît comme 1/√n. Cette règle aide à interpréter la précision gagnée en augmentant l’échantillon. Si les mesures sont dépendantes ou présentent des valeurs extrêmes persistantes, il faut d’abord revoir le modèle probabiliste.
À ne pas confondre
Loi des grands nombres. Elle décrit le rapprochement de la moyenne observée vers l’espérance μ lorsque n augmente. Le théorème central limite décrit plutôt la loi des fluctuations autour de μ à l’échelle 1/√n. Pour 100 lancers, on observe une fréquence autour de 0,5 ; c’est lorsque le nombre de lancers tend vers l’infini que cette fréquence converge vers 0,5. À n fixé, « le score normalisé est approximativement normal » relève du second.
Loi normale exacte. Si les contributions sont normales et indépendantes — ou, plus généralement, conjointement normales —, leur somme est normale pour tout n. Le théorème central limite permet une conclusion asymptotique pour beaucoup d’autres lois. Le critère qui tranche est donc l’égalité exacte à n fixé, et non la seule allure en cloche.
Convergence en probabilité. Une suite de variables Xn converge en probabilité vers une variable X si, pour tout ε > 0, la probabilité P(|Xn − X| > ε) tend vers 0. La convergence en loi concerne la distribution. Dans l’exemple, la fréquence des faces converge en probabilité vers 0,5, tandis que sa fluctuation normalisée conserve une distribution non dégénérée.
Limites et pièges
« Grand n » n’est pas un seuil universel. La conclusion porte sur n qui tend vers l’infini. La règle souvent répétée « n ≥ 30 suffit » n’est donc pas un théorème : à n = 30, la qualité dépend encore de la loi initiale. Il faut contrôler l’approximation ou préférer la loi exacte.
Variance nulle. Si σ2 = 0, chaque contribution est presque sûrement constante. Le dénominateur σ√n vaut alors 0 et le score normalisé n’est pas défini. On décrit directement la somme constante au lieu d’invoquer une limite normale centrée réduite.
Variance infinie. Une loi à queues très lourdes peut avoir une variance égale à +∞, donc non finie. La normalisation classique par un écart-type fini est alors indisponible et la version classique du théorème ne s’applique pas. Il faut rechercher une autre normalisation et une loi limite adaptée.
Dépendance ou lois différentes. Une corrélation durable ou des distributions qui changent avec i rompent les hypothèses classiques. Une silhouette en cloche observée ne rétablit pas ces conditions. Pour des variables indépendantes non identiquement distribuées, on peut par exemple centrer les termes, normaliser la somme par la racine de sa variance totale, vérifier que cette variance totale tend vers l’infini et imposer une condition de Lindeberg ; en présence de dépendance, il faut employer un théorème adapté à sa structure ou analyser le modèle particulier.
Pour aller plus loin
Théorème central limite et lois des grands nombres : un grand nombre de lois ! — Pour replacer la fluctuation normale parmi les différents résultats qui gouvernent les grandes sommes.
L'omniprésente loi normale — Pour prolonger l’intuition sur la courbe en cloche et sa présence dans les modèles statistiques.
convergence en loi — Pour préciser le sens du mode de convergence employé dans l’énoncé du théorème.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres