Berry-Esseen (théorème de)

Additionnons 100 résultats indépendants qui valent chacun −1 ou +1 avec la même probabilité. La somme, une fois remise à la bonne échelle, ressemble à une courbe en cloche, mais elle n’est pas exactement normale. Pour chaque seuil, on compare la probabilité que cette somme normalisée reste en dessous de ce seuil à la probabilité correspondante sous une loi normale. Le supremum est la plus petite borne supérieure de tous ces écarts ; il ne correspond pas nécessairement à un seuil où l’écart maximal serait atteint.

Sa borne décroît comme l’inverse de la racine carrée du nombre de termes. Multiplier l’effectif par quatre divise donc cette garantie d’erreur par deux.

Le théorème de Berry-Esseen complète le théorème central limite par une estimation de l’erreur. On considère des variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi, notées X₁, …, X_n. Leur espérance commune est nulle, leur variance commune est le nombre strictement positif σ², et leur moment absolu d’ordre 3 est le nombre fini ρ, c’est-à-dire l’espérance de |X₁|³.

La somme normalisée est obtenue en divisant X₁ + ⋯ + X_n par σ√n. Sa fonction de répartition est comparée à celle de la loi normale centrée réduite, notée Φ. La distance de Kolmogorov est le supremum des écarts absolus entre ces deux fonctions, lorsque le seuil réel x varie. Une constante universelle C, indépendante de la loi et de n, donne la borne suivante. Elle quantifie une proximité uniforme des fonctions de répartition, sans affirmer que les deux lois sont identiques.

Si X₁, …, X_n sont indépendantes, de même loi, d’espérance nulle, de variance σ² strictement positive et de moment absolu d’ordre 3 fini ρ, alors leur somme normalisée vérifie :

Ici, Φ est la fonction de répartition normale centrée réduite et C est une constante universelle. La conclusion porte simultanément sur tous les seuils x.

Le cadre présenté ici concerne des variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées. Leur espérance doit exister, et on les centre à zéro avant d’appliquer l’énoncé. Leur variance commune doit être finie et non nulle. Enfin, le moment absolu d’ordre 3 ρ doit être fini ; ce nombre mesure le poids que la loi accorde aux valeurs éloignées de zéro.

Si la variance vaut zéro, chaque variable centrée est constante et la normalisation par σ est impossible. Si le moment absolu d’ordre 3 est infini, le majorant affiché n’est pas disponible. Si les variables sont dépendantes ou n’ont pas la même loi, cet énoncé ne s’applique pas tel quel : il faut un résultat adapté à cette structure.

Considérons des variables indépendantes X₁, …, X_n, chacune égale à −1 ou +1 avec probabilité 1/2. Elles ont une espérance nulle, une variance σ² = 1 et un moment absolu d’ordre 3 ρ = 1. Prenons d’abord n = 100.

1. La somme est X₁ + ⋯ + X₁₀₀.
2. Comme σ = 1 et √100 = 10, la somme normalisée est divisée par 10.
3. Dans le majorant, le rapport ρ/σ³ vaut 1.
4. Le calcul donne $\frac{C\rho }{{\sigma }^3\sqrt{n}}=\frac{C}{10}\backslash frac\{C\backslash rho\}\{\backslash sigma^3\backslash sqrt\{n\}\}=\backslash frac\{C\}\{10\}$.

Le supremum des écarts absolus entre la fonction de répartition de cette somme normalisée et Φ est donc au plus C/10. C’est une garantie uniforme : elle vaut pour chaque seuil réel, mais elle ne prétend pas donner l’écart exact.

Le contrôle d’échelle se refait sans nouveau calcul probabiliste. Pour n = 25, 100 et 400, le majorant vaut respectivement C/5, C/10 et C/20. Chaque multiplication de n par quatre divise bien le majorant par deux.

Pour remplacer une somme par une loi normale, on vérifie d’abord l’indépendance, l’identité des lois et l’existence du troisième moment absolu. La borne indique ensuite une erreur maximale sur les probabilités cumulées.

Pour choisir un effectif, la dépendance en 1/√n donne un ordre de grandeur immédiatement lisible. Réduire le majorant de moitié exige de multiplier n par quatre, toutes les autres caractéristiques de la loi restant inchangées.

Pour une petite somme discrète dont la loi exacte se calcule aisément, le calcul exact peut être préférable. Berry-Esseen devient surtout utile quand on veut une garantie générale sans énumérer toutes les valeurs possibles de la somme.

Théorème central limite. Il décrit la convergence vers la loi normale lorsque n tend vers l’infini. Berry-Esseen ajoute, pour un n fixé, un majorant explicite de l’écart entre fonctions de répartition. À n = 100, la conclusion C/10 relève de Berry-Esseen, pas du seul énoncé qualitatif du théorème central limite.

Loi des grands nombres. Elle concerne la concentration de la moyenne autour de l’espérance. Berry-Esseen concerne la forme de la loi d’une somme centrée et normalisée. Demander où se situe la moyenne renvoie à la première ; comparer toute une fonction de répartition à Φ renvoie au second.

Un majorant n’est pas l’erreur exacte. Dans l’exemple à 100 termes, C/10 est un plafond garanti. L’écart réel peut être plus petit ; il faut calculer la loi de la somme pour le connaître précisément.

La décroissance est lente. Passer de 100 à 400 termes ne divise le majorant que par deux, de C/10 à C/20. Multiplier n par deux ne suffit donc pas à diviser cette garantie par deux.

Une variance nulle bloque la formule. Le dénominateur contient σ³. Quand σ = 0, la somme centrée est dégénérée et il ne faut pas appliquer la normalisation annoncée.

Des queues trop lourdes peuvent sortir du cadre. Si l’espérance de |X₁|³ est infinie, ρ n’est pas un nombre fini et cette borne ne fournit aucune estimation. Il faut alors rechercher un théorème fondé sur d’autres hypothèses.

Le théorème central limite donne le résultat de convergence que Berry-Esseen rend quantitatif.

La fiche variable aléatoire consolide le vocabulaire des lois, sommes et fonctions de répartition utilisé dans l’énoncé.

L’espérance mathématique précise le calcul du centrage et du moment absolu d’ordre 3.