convergence en moyenne quadratique

Imaginez une prévision aléatoire corrigée à chaque nouvel essai. Pour savoir si elle se rapproche vraiment d’une cible, on mesure l’écart, on le met au carré, puis on en prend la moyenne sur tous les résultats possibles. La mise au carré empêche les écarts positifs et négatifs de s’annuler et pénalise davantage les grandes erreurs.

Lorsque cette erreur quadratique moyenne tend vers zéro, la prévision converge en moyenne quadratique vers la cible. Autrement dit, les écarts importants deviennent collectivement négligeables, même si chaque réalisation aléatoire ne suit pas nécessairement une trajectoire convergente.

Considérons une suite de variables aléatoires réelles X_n et une variable aléatoire réelle X, toutes définies sur le même espace de probabilité. Chacune doit être de carré intégrable : son carré possède une espérance finie. La convergence en moyenne quadratique, aussi appelée convergence dans L², exige que l’espérance du carré de l’écart entre X_n et X tende vers zéro.

Cette notion est le cas d’ordre 2 de la convergence en moyenne d’ordre p. La quantité sous la limite est la distance quadratique au carré dans l’espace L²(Ω, ℱ, P), qui possède une structure d’espace hilbertien. La convergence en moyenne quadratique entraîne la convergence en probabilité. Elle n’entraîne pas, en général, la convergence presque sûre, et la convergence presque sûre ne suffit pas non plus à assurer la convergence en moyenne quadratique.

Prenons une variable aléatoire Y qui vaut 1 ou −1, chaque valeur ayant la probabilité 1/2. La cible X vaut toujours 0. Pour chaque entier n supérieur ou égal à 1, l’approximation X_n est définie par Y divisé par n. Les données sont donc les deux valeurs possibles de Y, leurs probabilités, la cible nulle et le rang n.

1. L’écart X_n − X vaut 1/n ou −1/n.

2. Dans les deux cas, son carré vaut 1/n². L’espérance vaut donc également 1/n².

3. Quand n tend vers l’infini, 1/n² tend vers 0. Ainsi, X_n converge en moyenne quadratique vers X.

Le contrôle se refait directement : au rang 2, l’erreur quadratique moyenne vaut 1/4 ; au rang 4, elle vaut 1/16, soit quatre fois moins. La suite représentée décroît bien vers zéro selon la loi exacte 1/n².

Pour suivre une approximation aléatoire, on calcule l’espérance du carré de son écart à la cible. Si cette quantité tend vers zéro, le critère L² est établi. Si seuls des écarts absolus sont contrôlables, une convergence en moyenne d’ordre 1 peut être plus adaptée.

Pour comparer deux approximations d’une même variable, on examine la vitesse à laquelle leurs erreurs quadratiques moyennes diminuent. Dans l’exemple, passer du rang n au rang 2n divise exactement l’erreur par quatre. Une autre mesure doit être choisie si l’on veut surtout contrôler les trajectoires une par une.

Pour prouver une convergence en probabilité, établir d’abord la convergence en moyenne quadratique peut suffire lorsque les seconds moments sont accessibles. En revanche, si les variables ne sont pas de carré intégrable, ce détour est indisponible et il faut employer un critère compatible avec les moments existants.

Convergence en probabilité. Elle demande que la probabilité d’un écart dépassant un seuil fixé tende vers zéro. Le critère L² est plus exigeant : si X_n vaut n avec probabilité 1/n² et 0 sinon, alors X_n converge en probabilité vers 0, mais son erreur quadratique moyenne reste égale à 1.

Convergence presque sûre. Elle observe, pour presque chaque issue, la trajectoire entière de la suite. La convergence en moyenne quadratique contrôle une moyenne d’écarts carrés, pas directement chaque trajectoire. Les deux critères ne s’impliquent donc pas l’un l’autre en général.

Second moment infini. Si une variable n’est pas de carré intégrable, l’erreur quadratique moyenne peut être infinie. Le symptôme est l’impossibilité d’obtenir une espérance finie du carré ; il faut alors choisir un mode de convergence fondé sur une quantité existante.

Convergence presque sûre sans contrôle L². Sur l’intervalle [0, 1] muni de la loi uniforme, prenons X_n = n lorsque l’issue appartient à [0, 1/n²] et 0 sinon. Pour presque toute issue, X_n finit par valoir 0, mais son espérance quadratique vaut toujours 1. Il ne faut donc pas conclure à la convergence L² à partir des seules trajectoires.

Moyenne qui tend vers zéro. Avoir une espérance de l’écart égale à zéro ne suffit pas, car des écarts positifs et négatifs peuvent s’annuler. Dans l’exemple conducteur, l’espérance de X_n vaut déjà 0 pour tout n, tandis que l’erreur quadratique vaut 1/n². Il faut calculer le carré de l’écart avant l’espérance.

La fiche Convergence en probabilité précise le mode de convergence que le contrôle quadratique entraîne automatiquement.

La fiche convergence presque sûre permet de comparer le contrôle moyen des écarts avec le comportement trajectoire par trajectoire.

La fiche espérance mathématique approfondit l’opération qui transforme le carré de l’écart aléatoire en un nombre.