convergence en moyenne d'ordre p

Imaginez une mesure aléatoire Xₙ qui cherche à approcher une valeur aléatoire X. On regarde l'écart |Xₙ − X|, on l'élève à la puissance p, puis on en prend la moyenne sur tous les résultats possibles. Si cette moyenne tend vers zéro, les erreurs importantes deviennent collectivement négligeables : Xₙ converge vers X en moyenne d'ordre p.

Le choix de p règle la sensibilité aux grandes erreurs. Avec p = 2, les écarts sont mis au carré et pèsent davantage ; c'est la convergence en moyenne quadratique.

Soit p un nombre réel strictement positif. Une suite (Xₙ) de variables aléatoires réelles, toutes définies sur le même espace de probabilité, converge en moyenne d'ordre p vers une variable aléatoire X lorsque l'espérance de la puissance p de leur écart tend vers zéro :

L'espérance 𝔼 est la moyenne probabiliste. Les moments d'ordre p de Xₙ et de X doivent être finis, ce qui garantit que la quantité comparée est bien définie et finie. Pour p ≥ 1, cette notion correspond à la convergence dans l'espace L^p. Le cas p = 1 est la convergence en moyenne, et p = 2 donne la convergence en moyenne quadratique. Cette convergence entraîne toujours la convergence en probabilité, mais pas nécessairement la convergence presque sûre.

Pour chaque entier n ≥ 1, considérons une variable Xₙ qui vaut 1 avec probabilité 1/n et 0 avec probabilité 1 − 1/n. La variable limite X vaut toujours 0. Les données sont donc p > 0, deux valeurs possibles pour Xₙ et une erreur non nulle de probabilité 1/n.

1. Lorsque Xₙ = 1, la puissance p de l'erreur vaut |1 − 0|^p = 1.
2. Lorsque Xₙ = 0, elle vaut |0 − 0|^p = 0.
3. L'espérance pondère ces deux valeurs par leurs probabilités :

Comme 1/n tend vers 0, la suite converge en moyenne d'ordre p vers X pour tout p > 0. Le contrôle est direct : pour n = 5, l'erreur moyenne vaut 1/5 ; pour n = 10, elle vaut 1/10, soit deux fois moins. La figure suit cette décroissance exacte.

En statistique, on emploie souvent p = 2 pour étudier un estimateur. L'erreur quadratique moyenne pénalise fortement les grands écarts ; elle est préférée à p = 1 lorsque ces écarts doivent peser davantage dans le bilan.

En théorie du signal, la moyenne quadratique mesure l'énergie moyenne de l'erreur entre un signal approché et sa cible. Si l'on veut au contraire contrôler chaque réalisation sauf sur un événement négligeable, il faut examiner la convergence presque sûre.

Pour tester la notion, le geste décisif consiste à calculer 𝔼[|Xₙ − X|^p] et à en étudier la limite. Une simple diminution de la probabilité d'erreur ne suffit pas si l'amplitude des erreurs peut augmenter.

Convergence en probabilité. Elle demande que la probabilité d'un écart supérieur à tout seuil positif tende vers zéro. La réciproque échoue : si Xₙ vaut n avec probabilité 1/n et 0 sinon, Xₙ tend vers 0 en probabilité, mais 𝔼[|Xₙ|] reste égale à 1.

Convergence presque sûre. Elle suit, pour presque chaque issue, toute la trajectoire X₁, X₂, … Des variables indépendantes valant 1 avec probabilité 1/n et 0 sinon convergent en moyenne d'ordre p vers 0, mais valent 1 une infinité de fois avec probabilité 1.

Convergence des espérances. Avoir 𝔼[Xₙ] qui tend vers 𝔼[X] ne contrôle pas |Xₙ − X|. Si Xₙ vaut n ou −n avec la même probabilité et X = 0, alors 𝔼[Xₙ] = 𝔼[X] = 0, tandis que 𝔼[|Xₙ|^p] = n^p.

Des moments doivent exister. Si 𝔼[|Xₙ|^p] ou 𝔼[|X|^p] n'est pas fini, le critère usuel dans L^p ne s'applique pas. Il faut d'abord vérifier l'intégrabilité d'ordre p, et pas seulement une convergence observée sur des simulations.

Le seuil p = 1 change la structure. Pour p ≥ 1, la racine p-ième de l'espérance définit une norme. Pour 0 < p < 1, elle ne satisfait pas l'inégalité triangulaire d'une norme, même si le critère de convergence garde un sens.

Une probabilité faible ne neutralise pas toujours une grande erreur. Si une erreur vaut n avec probabilité 1/n et 0 sinon, son moment d'ordre p vaut n^p−1. Cette quantité vaut 1 au seuil p = 1 et diverge pour p > 1 : il faut contrôler ensemble fréquence et amplitude.

L'ordre choisi compte. Pour des exposants tels que p est strictement positif et strictement inférieur à q, converger en moyenne d'ordre q entraîne la convergence d'ordre p sur un espace de probabilité, mais pas l'inverse. Si Xₙ vaut n avec probabilité n^−(p+q)/2 et 0 sinon, son moment d'ordre p tend vers 0, tandis que son moment d'ordre q diverge.

Convergence en probabilité. Elle précise la conséquence toujours garantie par la convergence en moyenne d'ordre p.

convergence presque sûre. Elle permet d'étudier le comportement des trajectoires et de comprendre pourquoi l'implication générale échoue.

espérance mathématique. Elle détaille l'opération qui agrège les puissances des écarts dans le critère.