espace de Lebesgue

Sur une bande de longueur 1, imaginons une fonction qui vaut 2 pendant le premier quart, puis 0. Un espace de Lebesgue classe ce profil selon la taille obtenue quand on élève ses valeurs à une puissance et qu'on les additionne par intégration. La puissance choisie change ce qui pèse le plus : L¹ mesure ici une aire, tandis que L² accentue davantage la hauteur. Deux profils qui diffèrent seulement sur des points de mesure nulle sont considérés comme le même élément. L∞ retient, lui, la hauteur qui n'est dépassée que sur un ensemble négligeable.

Un espace de Lebesgue se construit sur un espace mesuré : un ensemble X, une tribu B de parties mesurables et une mesure m définie sur cette tribu. Pour un réel p supérieur ou égal à 1, on retient les fonctions mesurables f de X vers les réels dont la puissance |f|^p possède une intégrale finie. La quantité associée est la semi-norme suivante :

Cette expression peut être nulle pour une fonction qui ne diffère de zéro que sur un ensemble de mesure nulle. On regroupe donc les fonctions égales presque partout, c'est-à-dire différentes seulement sur un ensemble de mesure nulle. Les classes ainsi obtenues forment L^p(X), où la semi-norme devient une véritable norme. Cet espace est complet : toute suite de Cauchy pour cette norme converge vers un élément de L^p(X), ce qui en fait un espace de Banach. Le cas p = ∞ ne repose pas sur une puissance infinie. Il rassemble les fonctions essentiellement bornées et utilise la plus petite borne valable presque partout, appelée borne essentielle : $\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=\inf \{C\ge 0:\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }\le C\text{ presque partout}\}\backslash |f\backslash |\_\backslash infty=\backslash inf\backslash \{C\backslash geq\; 0:|f|\backslash leq\; C\backslash \; \backslash text\{\; presque\; partout\}\backslash \}$. Le quotient correspondant L^∞(X) est lui aussi un espace de Banach.

La construction réunit cinq éléments. L'ensemble X fournit le domaine des fonctions. La tribu B précise quelles parties de X sont mesurables, et la mesure m leur attribue une taille. Ces trois données forment l'espace mesuré : sans elles, l'intégrale et l'expression « presque partout » n'ont pas de sens précis.

Le paramètre p choisit ensuite la puissance appliquée aux valeurs de la fonction. Il détermine à la fois la condition d'intégrabilité et la norme. Enfin, le quotient par l'égalité presque partout transforme les fonctions admissibles en classes d'équivalence. Cette dernière étape est indispensable : elle fait de la semi-norme une norme, car seule la classe nulle a alors une norme nulle. L'espace mesuré, le paramètre et ce quotient suffisent à construire L^p(X), à comparer ses éléments par leur norme et à étudier les convergences associées.

Prenons l'intervalle X = [0, 1] muni de la mesure de longueur. La fonction f vaut 2 sur [0, 1/4] et 0 sur (1/4, 1]. Ses données sont une hauteur 2 et une largeur 1/4.

1. Pour p = 1, l'intégrale de |f| est l'aire du créneau : $2\times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}2\backslash times\backslash frac\{1\}\{4\}=\backslash frac\{1\}\{2\}$. La norme L¹ de f vaut donc 1/2.

2. Pour p = 2, la fonction |f|² vaut 4 sur le même quart d'intervalle. Son intégrale vaut $4\times \frac{1}{4}=14\backslash times\backslash frac\{1\}\{4\}=1$, puis la racine carrée de 1 vaut 1. La norme L² de f vaut donc 1.

3. Pour p = ∞, la plus petite borne valable presque partout est 2. La norme L∞ de f vaut 2.

4. Modifions f au seul point x = 1/2 en lui donnant la valeur 100. La fonction g ainsi obtenue diffère de f sur un ensemble de mesure nulle. Les deux fonctions représentent la même classe dans L¹, L² et L∞ ; leurs normes restent 1/2, 1 et 2.

Le contrôle consiste à retrouver les deux aires, puis la hauteur essentielle. La représentation rend visibles la largeur 1/4, les hauteurs 2 et 4, et les normes 1/2, 1 et 2.

Pour mesurer l'erreur absolue cumulée entre deux fonctions sur un intervalle, on étudie souvent la norme L¹ de leur différence. Si les grandes erreurs doivent peser davantage, la norme L² devient un choix naturel, car la mise au carré amplifie les écarts élevés.

En probabilités, une variable aléatoire appartient à L¹ lorsque sa valeur absolue a une espérance finie. L² est préférable lorsqu'on doit aussi contrôler son carré, donc disposer d'un second moment fini. Le critère est l'intégrabilité de la puissance concernée.

Pour imposer une borne uniforme à l'exception d'un ensemble de mesure nulle, on travaille dans L∞. Avec la mesure de longueur de l'exemple, une valeur portée par un seul point ne change pas la borne essentielle ; si elle persiste sur un ensemble de longueur positive, elle compte.

Espaces de suites ℓ^p et espaces de fonctions L^p. Dans la convention courante, les premiers utilisent une somme de puissances et les seconds une intégrale. La source note toutefois ℓ^p(X) la collection avant quotient : pour trancher, il faut regarder le domaine et l'opération employée.

Intégrabilité de f et intégrabilité de |f|^p. Appartenir à L^p exige que la puissance absolue soit intégrable. Pour p = 2, vérifier seulement l'intégrabilité de f ne suffit pas : il faut contrôler l'intégrale de |f|².

Maximum et borne essentielle. Le maximum tient compte de chaque point ; la borne essentielle ignore les dépassements confinés à un ensemble de mesure nulle. La fonction g de l'exemple atteint 100 en x = 1/2, mais sa norme L∞ reste 2.

Une fonction n'est pas une classe. Dans L^p, les valeurs sur un ensemble de mesure nulle ne déterminent pas l'élément. Chercher la valeur ponctuelle d'une classe n'a donc pas de réponse unique ; il faut choisir un représentant ou formuler la propriété presque partout.

Le seuil p = 1. La construction donnée utilise p ≥ 1. Pour 0 < p < 1, l'expression usuelle ne satisfait pas l'inégalité triangulaire d'une norme ; on obtient une quasi-norme et non l'espace normé décrit ici.

Le cas p = ∞. Il ne s'obtient pas en intégrant une puissance infinie. Il faut vérifier l'existence d'une borne valable presque partout et employer la borne essentielle, comme dans l'exemple où elle vaut exactement 2.

Les inclusions dépendent de la mesure. Sur un espace de mesure finie, une intégrabilité à une puissance plus grande entraîne une intégrabilité aux puissances plus petites. Sur un espace de mesure infinie, aucune inclusion générale de ce type ne doit être présumée ; il faut examiner la fonction et la mesure.

intégrale de Lebesgue — Pour approfondir l'intégrale qui définit les normes L^p.

fonction mesurable — Pour préciser la condition préalable imposée aux représentants de L^p.

Presque partout — Pour saisir pourquoi des fonctions ponctuellement différentes peuvent définir le même élément.

norme — Pour replacer les normes L^p parmi les outils de mesure des vecteurs.

espace de Banach — Pour étudier la complétude qui garantit les limites des suites de Cauchy.