Riesz-Fischer (théorème de)

Imaginez une suite d’approximations d’un signal. À mesure qu’on avance, deux approximations deviennent aussi proches qu’on le souhaite, même si aucune formule évidente ne donne encore le signal limite. Le théorème de Riesz-Fischer garantit que cette limite existe parmi les signaux dont le carré est intégrable.

En langage de Fourier, la même idée porte sur l’énergie des coefficients. Si la somme de leurs modules au carré reste finie, ils décrivent réellement une fonction de L², et pas seulement une liste formelle de nombres.

Soit X un ensemble muni d’une mesure μ. Pour un nombre réel fini p supérieur ou égal à 1, l’espace L^p rassemble les classes de fonctions mesurables dont la puissance p du module est intégrable ; deux fonctions égales presque partout y représentent le même élément. Lorsque p est fini, la norme est $\parallel f{\parallel }_p={\left({\int }_X\mathrm{\mid }f{\mathrm{\mid }}^{p}d\mu \right)}^{1\mathrm{/}p}\backslash lVert\; f\backslash rVert\_p=\backslash left(\backslash int\_X\; |f|^p\backslash ,d\backslash mu\backslash right)^\{1/p\}$. Pour p égal à l’infini, elle est la borne supérieure essentielle du module de la fonction.

Le théorème de Riesz-Fischer affirme que chacun de ces espaces L^p est complet : toute suite de Cauchy pour cette norme converge, dans la même norme, vers un élément de L^p. Un espace vectoriel normé complet est appelé espace de Banach. Le cas p = 2 possède en plus un produit scalaire et forme un espace de Hilbert.

Sur le cercle représenté par l’intervalle [0, 2π), soit n un entier et c_n le coefficient $c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)e^{-inx}dxc\_n=\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\backslash int\_0^\{2\backslash pi\}f(x)e^\{-inx\}\backslash ,dx$. La version L² dit qu’une suite complexe indexée par les entiers est constituée des coefficients d’une fonction de carré intégrable exactement lorsque la série ${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}\mathrm{\mid }{c}_n{\mathrm{\mid }}^2\backslash sum\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; Z\}|c\_n|^2$ est finie. La fonction obtenue est unique comme élément de L², donc à modification sur un ensemble de mesure nulle près.

Si une suite de fonctions de L^p, avec 1 ≤ p ≤ ∞, est de Cauchy pour la norme L^p, alors il existe une fonction de L^p vers laquelle elle converge dans cette norme.

Dans le cas de Fourier sur le cercle, si les nombres complexes c_n, indexés par les entiers, vérifient , alors ils sont les coefficients de Fourier d’un unique élément de L². Réciproquement, les coefficients de toute fonction de L² satisfont cette condition.

La complétude concerne la norme de L^p, et non la convergence point par point. Il faut travailler sur un espace mesuré, prendre 1 ≤ p ≤ ∞ et considérer des fonctions modulo l’égalité presque partout. Une suite est de Cauchy lorsque, pour tout seuil positif, la norme de la différence entre deux termes assez éloignés devient inférieure à ce seuil.

La formulation par coefficients suppose un système trigonométrique complet sur le cercle et une normalisation fixée. Le critère à contrôler est la convergence de la somme des carrés des modules. Si cette somme diverge, Riesz-Fischer ne fournit aucune fonction de L² ayant ces coefficients ; il faut alors changer d’espace ou étudier une autre forme de convergence.

Sur le cercle, prenons les coefficients complexes c_n = 2⁻ⁿ pour les entiers n ≥ 0, et c_n = 0 pour n < 0. Pour chaque entier N ≥ 0 et chaque point x du cercle, la somme de Fourier partielle est $f_N(x)={\sum }_{n=0}^N{2}^{-n}{e}^{inx}f\_N(x)=\backslash sum\_\{n=0\}^\{N\}2^\{-n\}e^\{inx\}$. La norme L² est ici normalisée par la moyenne sur un tour.

1. Calculons la somme des carrés des modules : ${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}\mathrm{\mid }{c}_n{\mathrm{\mid }}^2={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{4}^{-n}=\frac{1}{1-1\mathrm{/}4}=\frac{4}{3}\backslash sum\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; Z\}|c\_n|^2=\backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}4^\{-n\}=\backslash frac\{1\}\{1-1/4\}=\backslash frac43$. Elle est finie.

2. Les premières sommes cumulées valent 1, puis 5/4, puis 21/16. La figure montre leur progression exacte vers 4/3.

3. Pour deux entiers M > N, l’orthogonalité des exponentielles donne $\parallel f_M-f_N{\parallel }_2^2={\sum }_{n=N+1}^M{4}^{-n}\le \frac{4^{-N}}{3}\backslash lVert\; f\_M-f\_N\backslash rVert\_2^2=\backslash sum\_\{n=N+1\}^\{M\}4^\{-n\}\backslash leq\backslash frac\{4^\{-N\}\}\{3\}$. Cette borne tend vers 0 : la suite des sommes partielles est donc de Cauchy dans L².

4. Riesz-Fischer fournit une limite f dans L², dont les coefficients sont exactement les c_n. Le contrôle se refait avec Parseval : la norme au carré de f vaut 4/3 avec la normalisation choisie.

En analyse de Fourier, on contrôle la somme des carrés des coefficients. Lorsqu’elle est finie, Riesz-Fischer transforme cette information numérique en l’existence d’un signal dans L². Si l’on a besoin de convergence point par point, ce théorème seul ne suffit pas et il faut rechercher des hypothèses supplémentaires.

Pour construire une limite de fonctions, on estime la norme des différences. Une borne qui tend vers zéro prouve que la suite est de Cauchy ; la complétude assure alors que la limite reste dans L^p. Quand les estimations portent plutôt sur la norme uniforme, l’espace de fonctions continues peut être plus adapté.

Dans les problèmes d’approximation, le résultat autorise à définir une fonction par limites successives sans disposer d’abord d’une formule fermée. Le geste décisif consiste à établir une estimation de Cauchy dans la bonne norme.

Complétude et compacité. La complétude garantit une limite aux suites de Cauchy. La compacité garantit qu’une suite possède une sous-suite convergente. Un espace L² peut être complet sans que sa boule unité soit compacte.

Convergence dans L² et convergence point par point. La première mesure la moyenne quadratique de l’erreur. Elle peut avoir lieu sans convergence en chaque point ; observer un point isolé ne tranche donc pas la convergence en norme.

Riesz-Fischer et égalité de Parseval. Riesz-Fischer assure notamment l’existence d’une fonction à partir de coefficients de carré sommable. Parseval identifie ensuite exactement sa norme L² à la somme des carrés de ses coefficients, selon la normalisation choisie.

Le seuil p = 1 est inclus, mais p < 1 ne l’est pas. Pour 0 < p < 1, l’expression usuelle ne définit pas une norme et L^p n’est pas un espace de Banach pour cette structure. Il faut parler d’un espace quasi-normé.

Les représentants ne sont pas uniques. Deux fonctions qui diffèrent seulement sur un ensemble de mesure nulle désignent le même élément de L^p. Une affirmation sur la valeur de la limite en un point précis exige donc un représentant et des hypothèses supplémentaires.

Le cas p = ∞ change de formule. On emploie la borne supérieure essentielle, et non une intégrale élevée à la puissance 1/p. Utiliser mécaniquement la formule des p finis masque cette différence.

La carré-sommabilité ne promet pas une convergence partout. Elle construit une limite dans L². Pour conclure à une convergence ponctuelle, uniforme ou absolue de la série de Fourier, il faut appliquer des résultats adaptés et vérifier leurs hypothèses.

La suite de Cauchy précise le critère interne qui annonce l’existence d’une limite dans un espace complet.

L’espace de Banach replace les espaces L^p dans le cadre général des espaces vectoriels normés complets.

La série de Fourier montre comment une fonction périodique est représentée par ses coefficients trigonométriques.

L’égalité de Parseval relie quantitativement la norme L² d’une fonction à l’énergie de ses coefficients de Fourier.