AnalyseFormule · Glossaire
égalité de Parseval
L'égalité de Parseval, également connue sous les noms de théorème de Parseval ou identité de Rayleigh, est une formule fondamentale de la théorie des séries de Fourier. Elle porte le nom de Marc Antoine Parseval (1755–1836). Cette relation peut être vue comme une généralisation du théorème de Pythagore aux séries, et elle s'étend naturellement au cadre des espaces de Hilbert. Dans de nombreuses applications physiques, elle s'interprète comme le fait que l'énergie totale d'un signal s'obtient en sommant les contributions de chacun de ses harmoniques. Dans le cas d'une fonction numérique 2π-périodique de carré intégrable, dont les coefficients de Fourier sont aᵢ et bᵢ, l'égalité s'écrit : (1/2)a₀² + ∑ₙ₌₁^∞ (aₙ² + bₙ²) = (1/π) ∫₀²π f²(x) dx.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la somme des carrés des coefficients à l'intégrale du carré de la fonction.
- Identifier les hypothèses et la convention de normalisation.
- Refaire un calcul complet dont les deux côtés valent 6.
- Éviter les erreurs de troncature et de changement de convention.
En clair
Imaginez un son formé d'une note constante et d'une oscillation régulière. On peut mesurer son énergie directement sur le signal, ou séparer ses différentes harmoniques et additionner leurs contributions. L'égalité de Parseval affirme que ces deux comptes donnent le même total.
C'est le même principe que le théorème de Pythagore, mais appliqué aux composantes d'une série de Fourier. Une fonction compliquée peut ainsi être étudiée à travers la taille de ses coefficients.
Définition
L'égalité de Parseval est une identité entre une fonction et ses coefficients de Fourier. Considérons une fonction réelle f, 2π-périodique et de carré intégrable. Dans la convention où sa série commence par le terme constant a0/2, les nombres an mesurent les composantes en cosinus et les nombres bn les composantes en sinus.
Avec cette convention, l'identité s'écrit :
Le membre de droite mesure la taille quadratique de la fonction sur une période. Le membre de gauche additionne la contribution du terme constant et celles de toutes les harmoniques.
Aussi appelée théorème de Parseval ou identité de Rayleigh, cette relation porte le nom de Marc Antoine Parseval (1755–1836). Elle généralise le théorème de Pythagore aux séries et se prolonge dans les espaces de Hilbert.
Le principe
Si une fonction réelle f est 2π-périodique et de carré intégrable, alors ses coefficients de Fourier a0, an et bn, calculés avec le terme constant a0/2, vérifient :
La somme des carrés des coefficients restitue donc exactement la taille quadratique de la fonction sur une période.
Quand l'utiliser
La formule donnée ici concerne une fonction numérique réelle de période 2π. Il faut connaître ses coefficients de Fourier dans la même convention, avec le terme constant a0/2. Enfin, le carré de la fonction doit être intégrable sur une période : l'intégrale de f2 entre 0 et 2π doit être finie.
Une fonction qui se comporte comme 1/x au voisinage de 0 ne satisfait pas cette dernière condition sur l'intervalle [0, 2π] : l'intégrale de son carré diverge. La formule ne fournit alors aucun total fini. Il faut d'abord choisir un autre cadre d'analyse, au lieu d'additionner formellement des carrés de coefficients.
Un exemple, pas à pas
Prenons la fonction 2π-périodique f définie par . Les données sont son terme constant 1, l'amplitude 2 du cosinus et l'absence de sinus. La courbe du signal et les deux contributions non nulles rendent visible le partage du total.
1. Avec la convention a0/2 pour le terme constant, on obtient a0 = 2, a1 = 2 et b1 = 0. Tous les autres coefficients sont nuls.
2. Le côté des coefficients vaut .
3. Pour le côté intégral, on développe .
4. Sur une période, l'intégrale du terme constant vaut 2π, celle du cosinus vaut 0 et celle de 4 cos2 x vaut 4π. Ainsi, .
Les deux calculs donnent 6. Le contrôle consiste à refaire séparément la somme 2 + 4 et l'intégrale 2π + 4π, puis à vérifier la division par π.
En pratique
Pour mesurer l'énergie d'un signal périodique, on peut intégrer son carré sur une période. Si ses coefficients de Fourier sont déjà connus, Parseval permet plutôt d'additionner leurs carrés.
Pour contrôler un calcul de série de Fourier, on évalue les deux côtés de l'identité. Un écart signale une erreur de coefficient, d'intégrale ou de normalisation.
Lorsque la fonction est difficile à manipuler mais que ses harmoniques sont simples, le côté spectral est souvent le calcul naturel. Lorsque seuls les échantillons de la fonction sont accessibles, l'intégrale directe peut être préférable.
À ne pas confondre
Théorème de Pythagore. Il additionne les carrés de composantes perpendiculaires dans un cadre de dimension finie. L'égalité de Parseval en est l'extension aux composantes d'une série de Fourier. Un triangle rectangle relève directement de Pythagore ; une fonction décomposée en une infinité d'harmoniques relève de Parseval.
Transformée de Fourier. La formule présentée ici emploie une série de Fourier pour une fonction périodique et une somme de coefficients. Une transformée de Fourier utilise une autre représentation et des conventions de normalisation propres. La présence d'une somme discrète d'harmoniques indique le cadre de cette fiche.
Limites et pièges
Somme tronquée. S'arrêter à l'harmonique N donne seulement une partie du membre de gauche. Cette somme est strictement inférieure au total dès qu'un coefficient d'indice supérieur à N est non nul. Il faut conserver la somme infinie, sauf si la fonction est un polynôme trigonométrique dont les coefficients suivants sont tous nuls.
Convention de normalisation. Le facteur 1/π et le terme a02/2 correspondent à la convention a0/2 sur une période de longueur 2π. Si les coefficients ou l'intervalle sont normalisés autrement, ces facteurs changent. Il faut repartir des définitions employées avant de comparer les deux côtés.
Carré non intégrable. Si l'intégrale de f2 est infinie, l'énergie finie attendue n'existe pas dans ce cadre. Une somme partielle apparemment stable ne suffit pas à valider Parseval ; il faut d'abord vérifier l'intégrabilité du carré.
Pour aller plus loin
série de Fourier — Pour voir comment une fonction périodique se décompose en coefficients de sinus et de cosinus.
espace de Hilbert — Pour replacer Parseval dans le cadre abstrait où les composantes orthogonales généralisent les coordonnées.
théorème de Pythagore — Pour retrouver le modèle géométrique fini dont l'égalité de Parseval prolonge le principe.
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