AnalyseNotion · Glossaire
Parseval Marc-Antoine
Marc-Antoine Parseval est le mathématicien français auquel est associée l'égalité de Parseval. Pour toute fonction de carré intégrable, celle-ci affirme, selon la normalisation choisie, que son énergie — l'intégrale du carré de son module — correspond à la somme des carrés des modules de ses coefficients de Fourier : la décomposition en fréquences conserve donc l'énergie.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer Marc-Antoine Parseval entre 1753 et 1836 à partir des faits fournis.
- Relier son mémoire de 1799 à l'égalité de Parseval.
- Refaire un calcul exact du bilan d'énergie sur une fonction simple.
- Reconnaître les effets d'une normalisation différente ou d'une somme tronquée.
En clair
En 1799, Marc-Antoine Parseval publie le deuxième de ses cinq mémoires mathématiques. Il y énonce, sans démonstration, une égalité devenue son héritage scientifique le plus connu.
L'idée ressemble à un inventaire fidèle : une fonction périodique peut être décomposée en oscillations simples, et l'énergie totale ne disparaît pas pendant cette décomposition. On peut la calculer soit directement sur la fonction, soit en additionnant les contributions de ses coefficients de Fourier.
Définition
Marc-Antoine Parseval (1753–1836) est un mathématicien français. Issu d'une famille de financiers et de fermiers généraux anoblis, ce royaliste convaincu s'exile en 1801 après la publication de poèmes anti-bonapartistes. Il laisse cinq mémoires mathématiques et n'est jamais élu à l'Académie des Sciences.
Son nom reste attaché à l'égalité qu'il énonce sans preuve dans son deuxième mémoire, publié en 1799. Soit f une fonction, réelle ou complexe, de carré intégrable sur une période [0, 2π]. Pour chaque entier n, son coefficient de Fourier complexe cn est défini par . Avec cette convention, l'égalité s'écrit :
Le membre de gauche mesure la moyenne du carré de l'amplitude sur une période ; celui de droite additionne les carrés des amplitudes des composantes de Fourier. Le facteur de proportionnalité change avec la normalisation choisie pour les coefficients, mais l'idée de conservation demeure.
Un exemple, pas à pas
Considérons sur [0, 2π] la fonction f définie par . Avec la convention complexe de la définition, ses seules données non nulles sont c−1 = 1, c0 = 1 et c1 = 1.
1. Du côté des coefficients, les trois contributions valent chacune 12. Leur somme est donc 1 + 1 + 1 = 3.
2. Du côté de la fonction, on développe son carré puis on l'intègre sur une période :
3. Les deux calculs donnent exactement 3. Pour refaire le contrôle, on utilise que l'intégrale de cos x sur une période vaut 0 et que celle de cos2 x vaut π. Le bilan visuel associe les trois coefficients à leurs trois unités d'énergie.
En pratique
Pour contrôler un développement en série de Fourier, on calcule l'énergie dans l'espace d'origine et la somme des carrés des coefficients. Un désaccord révèle une erreur de coefficient, de normalisation ou d'intégration.
Pour estimer ce que conserve une approximation tronquée, on additionne seulement les contributions des fréquences gardées. On compare ensuite ce sous-total à l'énergie complète ; cette lecture est plus informative qu'une inspection visuelle de la courbe.
Lorsque la convention des coefficients n'est pas indiquée, on la vérifie avant tout calcul. Selon la normalisation, le facteur 2π peut se trouver dans les coefficients, dans l'intégrale ou devant l'un des deux membres.
À ne pas confondre
Marc-Antoine Parseval et l'égalité de Parseval. Le premier est le mathématicien né en 1753 et mort en 1836 ; la seconde est le résultat qu'il énonce en 1799. Une recherche biographique appelle des dates et un parcours, tandis qu'un calcul demande une convention de Fourier et une fonction.
Coefficient de Fourier et énergie associée. Un coefficient peut être négatif ou complexe, alors que sa contribution au bilan est le carré de son module, toujours positif ou nul. Dans l'exemple, c−1 = 1 contribue donc pour |1|2 = 1.
Limites et pièges
La normalisation n'est pas universelle. Si un manuel définit autrement les coefficients de Fourier, recopier la formule avec le facteur 1/(2π) produit un écart constant. Il faut reprendre la convention du manuel avant de comparer les deux membres.
Le carré intégrable est une hypothèse réelle. Si l'intégrale de |f|2 sur une période est infinie, le bilan d'énergie sous cette forme ne fournit pas deux quantités finies. Il faut alors changer de cadre plutôt que prolonger mécaniquement l'égalité.
Une somme tronquée ne donne qu'une partie de l'énergie. Avec N fréquences gardées, le sous-total est inférieur ou égal à l'énergie complète. L'égalité exacte porte sur tous les coefficients ; une égalité après troncature exige que les coefficients omis soient nuls.
Pour aller plus loin
La fiche égalité de Parseval recentre la lecture sur le résultat mathématique, ses coefficients de Fourier et son bilan d'énergie.
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