AnalyseNotion · Glossaire
Plancherel (transformée de)
La transformée de Plancherel est l'extension de la transformée de Fourier à l'espace des fonctions de carré intégrable, c'est-à-dire à L2. Elle est construite par densité à partir de la transformée de Fourier usuelle définie sur l'espace des fonctions intégrables à carré intégrable. Le théorème de Plancherel affirme que cette extension est une isométrie de L2 dans L2, conservant la norme L2. C'est un résultat fondamental en analyse harmonique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier pourquoi la formule intégrale de Fourier ne suffit pas pour tout L2.
- Suivre la construction du prolongement par densité.
- Vérifier la conservation de la norme sur une gaussienne.
- Distinguer égalité dans L2, valeurs ponctuelles et conventions de normalisation.
En clair
Imaginez un signal étalé sur toute la droite. Sa taille totale peut rester finie quand on additionne le carré de ses amplitudes, alors même que l’addition de leurs valeurs absolues diverge. L’intégrale qui définit habituellement sa transformée de Fourier n’est donc plus toujours disponible.
La transformée de Plancherel franchit cet obstacle par approximation. Elle remplace le signal par des fonctions mieux intégrables, transforme celles-ci, puis prend leur limite. La taille quadratique est conservée : aucune énergie au sens de la norme L2 n’est perdue entre la représentation initiale et sa représentation en fréquences.
Définition
L’espace L2(ℝ) rassemble les fonctions mesurables sur la droite réelle dont le carré du module a une intégrale finie, deux fonctions égales presque partout représentant le même élément. Pour une fonction f à la fois intégrable et de carré intégrable, on fixe ici la convention unitaire de Fourier :
La variable x repère la position et la variable ξ la fréquence.
Les fonctions intégrables qui appartiennent aussi à L2 sont denses dans L2. Pour une fonction f de L2, on choisit donc une suite de telles fonctions qui converge vers f en norme L2. Leurs transformées forment une suite convergente dans L2 ; sa limite ne dépend pas de la suite choisie. Cette limite définit l’unique prolongement de la transformée de Fourier à tout L2.
Le théorème de Plancherel affirme que ce prolongement est un opérateur unitaire de L2(ℝ) sur L2(ℝ). En particulier :
Une autre normalisation de Fourier déplace des constantes dans les formules ; l’égalité sans facteur correspond à la convention unitaire annoncée.
Un exemple, pas à pas
Prenons la gaussienne sur la droite réelle. Les données sont la convention unitaire de Fourier, la fonction f définie par , et la norme L2 obtenue en intégrant le carré du module.
Étape 1. La formule classique de l’intégrale gaussienne donne la transformée :
La gaussienne conserve donc sa forme et sa largeur avec cette normalisation.
Étape 2. Le carré du module de la fonction vaut . Son intégrale sur la droite est :
Étape 3. La transformée ayant exactement la même expression, son carré du module est aussi une gaussienne :
Étape 4. En prenant la racine carrée, les deux normes valent exactement . Le contrôle est refaisable en comparant les deux intégrales de l’étape précédente.
La courbe de la gaussienne rend visible ce cas particulier : la fonction et sa transformée se superposent, en accord avec l’égalité de leurs normes L2.
En pratique
Pour transformer une fonction de carré intégrable dont l’intégrale absolue n’existe pas, on emploie le prolongement de Plancherel. Si la fonction est aussi intégrable, la formule intégrale usuelle reste disponible et donne le même élément de L2.
Pour contrôler un calcul de Fourier avec la convention unitaire, on compare la norme L2 de la fonction à celle du résultat. Une différence signale une erreur de calcul ou un facteur de normalisation oublié ; avec une autre convention, il faut d’abord rétablir le facteur prévu.
Pour approcher la transformée d’un élément général de L2, on peut tronquer ou régulariser la fonction afin d’obtenir des approximations intégrables et de carré intégrable. On transforme ces approximations, puis on contrôle leur convergence en norme L2 plutôt que point par point.
À ne pas confondre
Transformée de Fourier usuelle. Sa formule intégrale s’applique directement lorsque la fonction est intégrable. La transformée de Plancherel est son prolongement défini par convergence en L2 ; sur une fonction à la fois intégrable et de carré intégrable, les deux coïncident dans L2.
Identité de Parseval. Les usages du nom varient selon les cadres et les conventions. Le critère décisif est l’énoncé : l’égalité des produits scalaires ou des normes sous une transformée de Fourier unitaire exprime le contenu isométrique du théorème de Plancherel, et non une seconde transformation.
Limites et pièges
Valeurs ponctuelles. Un élément de L2 est une classe de fonctions égales presque partout. Modifier une valeur en un point ne change ni l’élément ni sa norme ; il ne faut donc pas attribuer automatiquement une valeur ponctuelle canonique à sa transformée de Plancherel.
Intégrale divergente. Pour une fonction générale de L2, l’intégrale de Fourier peut ne pas converger au sens usuel. Le symptôme est l’impossibilité de justifier l’intégrabilité absolue ; il faut alors définir la transformée par une limite en norme L2.
Facteurs de normalisation. L’égalité exacte des normes utilisée dans cette fiche suppose le facteur unitaire sur la droite réelle. Avec une autre convention, un facteur apparaît ; il faut comparer les formules après harmonisation des conventions.
Autres exposants. Le cas charnière est l’exposant 2, car la norme provient alors d’un produit scalaire. Le théorème énoncé ici ne fournit pas une isométrie de même forme sur tous les espaces Lp ; il faut employer les résultats adaptés à l’exposant considéré.
Pour aller plus loin
La fiche Transformée de Fourier présente l’opération initiale que le théorème de Plancherel prolonge aux fonctions de carré intégrable.
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