Paley-Wiener (théorèmes de de)

Imaginez un signal qui vaut 1 entre −1 et 1, et 0 partout ailleurs. Il est parfaitement localisé : hors de cette fenêtre, rien ne subsiste. Sa transformée de Fourier, qui décrit ses fréquences, s'étend pourtant bien au-delà de l'axe réel.

Paley-Wiener donne la signature exacte de cette coupure nette. La transformée devient une fonction entière, donc définie sans singularité sur tout le plan complexe, mais sa croissance y reste limitée. La vitesse maximale de cette croissance encode la largeur du support du signal.

Soit f une fonction de carré intégrable sur la droite réelle. On note F sa transformée de Fourier au sens L². Avec une variable réelle ξ, cette convention s'écrit sous sa forme intégrale classique lorsque f appartient aussi à L¹.

Pour un nombre positif A, la fonction f est nulle presque partout hors de [−A, A] si et seulement si F, d'abord définie sur l'axe réel, se prolonge en une fonction entière dont la restriction réelle est de carré intégrable et dont la croissance vérifie $\mathrm{\mid }F(z)\mathrm{\mid }\le C{e}^{A\mathrm{\mid }\mathrm{Im}z\mathrm{\mid }}|F(z)|\backslash leq\; C\; e^\{A|\backslash operatorname\{Im\}z|\}$ pour une constante C. Dans le sens direct, le support compact assure que f appartient à L¹, et l'intégrale précédente, avec z complexe à la place de ξ, définit ce prolongement. Le plus petit type exponentiel admissible renseigne ainsi sur la taille du support. D'autres théorèmes de Paley-Wiener relient les valeurs au bord de certains espaces de Hardy à un support de Fourier contenu dans une demi-droite ; le côté de cette demi-droite dépend du signe choisi dans la transformée.

Prenons le signal f qui vaut 1 sur l'intervalle [−1, 1] et 0 ailleurs. Les données sont donc un support de largeur 2, une amplitude 1 et la convention de Fourier à noyau exponentiel $e^{-izt}e^\{-izt\}$.

1. La coupure du support réduit l'intégrale à l'intervalle [−1, 1].

2. En z = 0, le quotient semble indéfini, mais sa limite vaut 2. En posant F(0) = 2, cette singularité disparaît et F est entière.

3. Si z = x + iy, la valeur absolue de l'intégrande ne dépasse pas e^|y|. Ainsi $\mathrm{\mid }F(x+iy)\mathrm{\mid }\le 2e^{\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }}|F(x+iy)|\backslash leq\; 2e^\{|y|\}$ : le type exponentiel est au plus 1.

Le théorème retrouve donc la borne 1 du support. Le contrôle est refaisable sur l'axe réel : F(0) = 2, et F(π) = 0 comme l'indique directement 2 sin(π)/π.

Quand le support d'un signal est connu, le théorème prévoit le comportement complexe de sa transformée. Une estimation directe du support reste plus simple si le signal est disponible ; Paley-Wiener devient utile lorsque l'information accessible porte surtout sur la transformée.

En traitement du signal, une coupure temporelle nette ne produit pas une bande de fréquences compacte. Si l'on veut limiter les oscillations fréquentielles, on préfère souvent une fenêtre plus douce, au prix d'un support qui n'est plus strictement borné.

En analyse complexe, prolongement entier et croissance exponentielle fournissent un test de localisation. Pour un support unilatéral plutôt que borné, la variante adaptée passe par un espace de Hardy dans un demi-plan.

Avec le principe d'incertitude. Celui-ci interdit à une fonction non nulle et à sa transformée d'être toutes deux trop localisées. Paley-Wiener donne un critère analytique précis : un support compact d'un côté correspond à un prolongement entier de type exponentiel de l'autre. Le signal indicateur de [−1, 1] tranche : sa transformée est entière, mais pas à support compact.

Avec la formule d'inversion de Fourier. L'inversion reconstruit une fonction à partir de sa transformée lorsque les hypothèses requises sont satisfaites. Elle ne caractérise pas à elle seule la compacité du support. Si la question porte sur la reconstruction, on utilise l'inversion ; si elle porte sur la localisation déduite d'un prolongement complexe, on utilise Paley-Wiener.

La restriction à l'axe réel compte. Une fonction entière de type exponentiel n'est pas automatiquement une transformée de Fourier d'une fonction de L². Il faut aussi vérifier que ses valeurs réelles sont de carré intégrable.

Les extrémités ne se lisent qu'à un ensemble négligeable près. Dans L², changer la valeur de f aux seuls points −A et A ne change ni sa classe ni sa transformée. Le support visé est donc le support essentiel.

Décroissance rapide ne signifie pas support compact. Une gaussienne devient très petite sans jamais être exactement nulle hors d'un intervalle. Il faut chercher une annulation presque partout, et non fixer un seuil numérique arbitraire.

Le signe de Fourier change l'orientation. Dans les versions utilisant les espaces de Hardy, le demi-plan analytique correspond à une demi-droite de support. Remplacer e^−iξt par e^iξt inverse cette demi-droite ; la convention doit être annoncée avant d'appliquer le critère.

Le théorème peut se lire dans les deux sens : un support borné impose une croissance complexe, tandis qu'une croissance de type exponentiel, accompagnée de la condition L², permet de retrouver un support borné. Pour un support contenu dans une demi-droite, les variantes mentionnées dans la définition source conduisent plutôt aux espaces de Hardy.

La fiche Transformée de Fourier présente l'opération qui fait passer d'un signal à ses fréquences et fixe les conventions de calcul.