Décroissance rapide

Imaginez la courbe en cloche de la fonction qui associe à chaque nombre réel x la valeur e^−x². Loin de zéro, sa hauteur devient minuscule. Même si on la multiplie par x, x², x¹⁰⁰ ou n'importe quelle puissance fixée, le produit finit toujours par se rapprocher de zéro.

C'est cette victoire sur toute puissance, et non une simple descente vers zéro, que traduit la décroissance rapide. La puissance peut être aussi grande qu'on veut, mais elle est choisie avant de laisser |x| grandir.

Soit f une fonction définie sur la droite réelle. On dit que f est à décroissance rapide si, pour chaque entier naturel n, le produit de |f(x)| par la puissance |x|ⁿ tend vers zéro lorsque la valeur absolue |x| tend vers l'infini :

Cette condition contrôle simultanément les deux directions, vers +∞ et vers −∞. Elle équivaut à dire que, pour tout n, la fonction |x|ⁿf(x) s'annule à l'infini.

L'espace de Schwartz, noté $\mathcal{S}(\mathbb{R})\backslash mathcal\{S\}(\backslash mathbb\{R\})$, impose davantage : la fonction doit être infiniment dérivable et chacune de ses dérivées doit être à décroissance rapide. En notant f^(k) la dérivée d'ordre k, cela s'écrit : $\mathrm{\forall }n,k\in \mathbb{N},{\lim }_{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\to \mathrm{\infty }}\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^n\mathrm{\mid }{f}^{(k)}(x)\mathrm{\mid }=0\backslash forall\; n,k\backslash in\backslash mathbb\{N\},\backslash \; \backslash lim\_\{|x|\backslash to\backslash infty\}|x|^n|f^\{(k)\}(x)|=0$. Cette stabilité des fonctions et de leurs dérivées explique pourquoi l'espace de Schwartz convient à la théorie des distributions et à la transformée de Fourier.

Prenons la fonction f définie, pour tout nombre réel x, par f(x) = e^−x². Pour tester concrètement la puissance n = 4, on étudie q(x) = x⁴e^−x² lorsque x est positif. Les données sont x = 1, 2, 3 et 4.

1. On remplace x par 1 : q(1) = e⁻¹ ≈ 0,3679.
2. Pour x = 2 : q(2) = 16e⁻⁴ ≈ 0,2931.
3. Pour x = 3 : q(3) = 81e⁻⁹ ≈ 0,0100.
4. Pour x = 4 : q(4) = 256e⁻¹⁶ ≈ 0,0000288.

Le dessin retrace le même produit : après un maximum atteint en x = √2, il chute vers zéro. Le calcul général pose t = x² et donne xⁿe^−x² = t^n/2e^−t, qui tend vers zéro pour tout entier naturel n. Comme chaque dérivée de f est un polynôme multiplié par e^−x², toutes ses dérivées vérifient aussi ce contrôle. Ainsi f appartient à l'espace de Schwartz.

En transformée de Fourier, on choisit souvent une fonction de Schwartz lorsque l'on veut dériver, multiplier par des puissances ou transformer sans perdre un bon comportement à l'infini. Une fonction seulement intégrable peut suffire pour définir une transformée, mais elle offre moins de stabilité pour ces manipulations.

Pour les distributions tempérées, les fonctions de Schwartz constituent l'espace de fonctions test naturel. Leur régularité et leur décroissance rendent les appariements avec des objets qui croissent au plus polynomialement bien contrôlés. En théorie générale des distributions, les fonctions test usuelles sont les fonctions infiniment dérivables à support compact.

Pour vérifier un candidat, on ne regarde donc pas quelques grandes valeurs au hasard. On cherche une estimation valable pour toute puissance fixée et, si l'appartenance à l'espace de Schwartz est visée, on répète le contrôle pour chaque dérivée.

Tendre vers zéro. La fonction 1/(1 + x²) tend bien vers zéro quand |x| grandit, mais elle n'est pas à décroissance rapide : pour n = 2, le produit x²/(1 + x²) tend vers 1 au lieu de tendre vers zéro.

Décroissance exponentielle. Une borne du type Ce^−a|x|, avec des constantes positives C et a, entraîne une décroissance rapide. La réciproque est fausse : e^−√|x|, prolongée convenablement près de zéro, décroît plus vite que toute puissance sans être bornée par Ce^−a|x| pour un a positif fixé.

Fonction à support compact. Une fonction nulle hors d'un intervalle borné décroît automatiquement plus vite que toute puissance. Pour appartenir à l'espace de Schwartz, elle doit toutefois être infiniment dérivable ; la fonction indicatrice d'un intervalle ne l'est pas à ses extrémités.

Un seul exposant ne suffit pas. Vérifier |x|⁴|f(x)| → 0 ne contrôle pas les puissances supérieures. Le symptôme est une preuve qui s'arrête à une valeur de n ; il faut établir le résultat pour tout entier naturel n.

Le contrôle porte sur les deux infinis. Sur la droite réelle, une estimation établie seulement quand x tend vers +∞ laisse ouverte la direction −∞. Le bon réflexe consiste à travailler avec |x| ou à vérifier séparément les deux côtés.

Fonction rapide ne signifie pas automatiquement fonction de Schwartz. La décroissance de f seule ne garantit ni sa dérivabilité infinie ni la décroissance de ses dérivées. Pour conclure que f appartient à $\mathcal{S}(\mathbb{R})\backslash mathcal\{S\}(\backslash mathbb\{R\})$, il faut contrôler chaque ordre de dérivation.

En dimension supérieure, la notation change. Pour une fonction sur ℝ^d, le contrôle porte sur toutes les dérivées partielles et tous les monômes en les coordonnées. Une vérification le long d'un seul axe ou d'une seule direction ne suffit pas.

Transformée de Fourier. Cette fiche prolonge la propriété centrale selon laquelle la transformée d'une fonction de Schwartz reste dans l'espace de Schwartz.

De la transformation de Fourier à la transformée en cosinus discrète. Cet article relie le cadre théorique de Fourier à une transformation discrète employée dans le traitement du signal.