Mellin (transformée de)

Imaginez une courbe tracée seulement pour des nombres positifs, puis observez-la en changeant sans cesse d'échelle. La transformée de Mellin rassemble ces observations en donnant davantage ou moins de poids aux petites et aux grandes valeurs de l'axe. Elle produit ainsi une nouvelle fonction, dont l'argument peut être complexe. Cette fonction révèle les lois de changement d'échelle, un peu comme la transformée de Fourier révèle des fréquences.

Soit une fonction f définie pour les nombres réels strictement positifs. Pour un nombre complexe s, sa transformée de Mellin, notée M[f](s), est l'intégrale suivante lorsqu'elle converge :

Les valeurs admissibles de s forment souvent une bande verticale du plan complexe, appelée bande fondamentale. Ses bords dépendent du comportement de f près de zéro et à l'infini. En posant la variable réelle u égale à ln x, l'intégrale devient ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{su}f(e^u)du\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}e^\{su\}f(e^u)\backslash ,du$. Sur une droite où la partie réelle de s est constante, cette écriture prend la forme d'une transformée de Fourier, au choix du signe près. Avec la substitution x = e^−u, elle prend aussi la forme d'une transformée de Laplace bilatérale. Si F(s) désigne M[f](s), alors multiplier f(x) par x décale F vers F(s + 1), tandis que multiplier f(x) par ln x donne la dérivée F′(s), sous les hypothèses autorisant la dérivation sous l'intégrale. Une dilatation f(ax), avec a positif, multiplie enfin la transformée par a^−s.

Prenons la fonction f définie, pour x positif, par f(x) = e^−x. On cherche sa transformée au nombre réel s = 2. Les données sont donc f(x), la valeur 2 et l'intervalle allant de zéro à l'infini.

1. Remplaçons s par 2 dans la définition : $M[f](2)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}x{e}^{-x}dxM[f](2)=\backslash int\_0^\{+\backslash infty\}xe^\{-x\}\backslash ,dx$.

2. Intégrons par parties en prenant x comme premier facteur et e^−x comme facteur à intégrer. On obtient $[-x{e}^{-x}{]}_0^{+\mathrm{\infty }}+{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x}dx[-xe^\{-x\}]\_0^\{+\backslash infty\}+\backslash int\_0^\{+\backslash infty\}e^\{-x\}\backslash ,dx$.

3. Le terme de bord vaut 0, car x e^−x tend vers 0 à l'infini et vaut 0 en zéro. La seconde intégrale vaut 1. Ainsi, M[f](2) = 1.

La courbe de l'intégrande x e^−x rend visible une aire positive finie, avec un maximum en x = 1. Pour contrôler le calcul autrement, on reconnaît la valeur Γ(2) de la fonction gamma, égale à 1! = 1.

Pour étudier un phénomène gouverné par des rapports d'échelle, on transforme la variable positive avec Mellin. Si le phénomène dépend plutôt de décalages additifs, la transformée de Fourier est généralement l'outil naturel : le critère observable est donc « rapport » contre « différence ».

En théorie analytique des nombres, on relie des sommes portant sur des entiers à des intégrales complexes. Les séries de Dirichlet fournissent alors des transformées de Mellin de fonctions adaptées, et la formule de Perron aide à revenir vers des sommes partielles.

Pour obtenir une asymptotique, on examine les singularités du prolongement de la transformée puis on déplace une droite d'intégration lorsque les hypothèses le permettent. Si seule une décroissance exponentielle en temps importe, la transformée de Laplace évite ce détour par les échelles multiplicatives.

Transformée de Laplace. Elle pondère habituellement une variable additive positive par une exponentielle. Mellin pondère une variable positive par des puissances. Une translation du temps favorise donc Laplace, tandis qu'un changement d'échelle favorise Mellin.

Transformée de Fourier. Elle décompose les variations selon des fréquences additives. Mellin devient une transformée de Fourier après le passage à la coordonnée logarithmique u = ln x. Une oscillation périodique en x relève de Fourier ; une oscillation périodique en ln x relève naturellement de Mellin.

Convergence. L'intégrale doit converger à la fois près de 0 et à l'infini. Pour f(x) = e^−x, elle converge lorsque la partie réelle de s est strictement positive ; au seuil Re(s) = 0, le comportement près de zéro fait diverger l'intégrale.

Prolongement analytique. Une formule prolongée au-delà de la bande fondamentale n'est plus automatiquement la valeur de l'intégrale initiale. Il faut distinguer le domaine de convergence de l'intégrale et le domaine où une fonction méromorphe prolongée existe.

Décalage ou dérivée. Multiplier f(x) par x donne F(s + 1), et non F′(s). La dérivée par rapport à s correspond au facteur ln x, à condition de pouvoir dériver sous le signe intégral.

Inversion. Intégrer formellement sur n'importe quelle droite verticale ne suffit pas. La droite doit avoir une abscisse c située dans la bande fondamentale, et f doit satisfaire des hypothèses d'intégrabilité ou de régularité adaptées ; le résultat peut n'être valable que presque partout.

Transformée de Laplace — Pour comparer la pondération exponentielle d'une variable additive avec la pondération par puissances de Mellin.

Transformée de Fourier — Pour approfondir le passage de Mellin à Fourier par la coordonnée logarithmique.

série de Dirichlet — Pour voir pourquoi les puissances d'entiers s'accordent avec la variable complexe de Mellin.

Perron (formule de) — Pour relier une intégrale complexe à des sommes partielles en théorie des nombres.