AnalyseFormule · Glossaire
Perron (formule de)
La formule de Perron est une formule de la théorie analytique des nombres permettant d'exprimer des sommes arithmétiques à l'aide d'une intégrale de Mellin. Elle affirme que sous certaines conditions, la somme d'une suite arithmétique peut s'écrire comme une intégrale sur une droite verticale du plan complexe faisant intervenir une série de Dirichlet. Elle est utilisée pour démontrer des théorèmes sur la distribution des nombres premiers, notamment le théorème des nombres premiers.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier une suite de coefficients à sa série de Dirichlet.
- Lire l'intégrale verticale et la convention du demi-poids à la coupure.
- Retrouver pas à pas la valeur 5 pour les entiers positifs inférieurs à 5,5.
- Distinguer formule exacte, intégrale tronquée et déplacement de contour.
- Ne pas confondre la formule de Perron avec le théorème de Perron–Frobenius.
En clair
Imaginez une longue liste de nombres dont on veut additionner seulement les premiers termes, jusqu'à un seuil donné. La formule de Perron remplace cette coupure brutale par une intégrale dans le plan complexe.
La série de Dirichlet rassemble d'abord toute la liste dans une fonction. Le noyau de l'intégrale agit ensuite comme un interrupteur : il retient le terme d'indice inférieur au seuil et écarte les suivants. Une somme discrète devient ainsi accessible aux outils de l'analyse complexe.
Définition
Soit une suite de coefficients complexes, dont le terme d'indice positif n est noté an. Sa série de Dirichlet associe à chaque nombre complexe s la fonction F définie, dans un demi-plan de convergence, par . La formule de Perron récupère une somme partielle de ces coefficients au moyen d'une intégrale verticale.
On choisit un réel positif x, qui fixe la coupure, et un réel c situé à droite de la zone où la série converge absolument. Dans la forme classique, l'intégrale est la limite symétrique des segments allant de c − iT à c + iT lorsque le réel positif T tend vers l'infini.
Si x n'est pas entier, la somme porte exactement sur les indices n inférieurs à x. Si x est entier, la convention symétrique attribue en général un poids 1/2 au terme de bord ax. Des versions tronquées remplacent la limite par une hauteur finie T et ajoutent alors un terme d'erreur ; elles sont celles que l'on estime dans les applications.
Le principe
Supposons que la série de Dirichlet F converge absolument sur la droite de partie réelle c, avec c strictement positif. Pour un réel positif x, et sous les hypothèses assurant l'existence de la limite symétrique, la forme classique s'écrit :
Le signe prime indique que, lorsque x est entier, le dernier coefficient reçoit le poids 1/2. Pour x non entier, il s'agit de la somme ordinaire.
Quand l'utiliser
La donnée de départ est une série de Dirichlet F construite avec les coefficients an. Il faut choisir la verticale de partie réelle c dans un domaine où cette série converge absolument, avec c > 0. La coupure x doit aussi être positive. Enfin, l'intégrale infinie se comprend comme une limite symétrique ; une application rigoureuse doit vérifier les hypothèses de convergence correspondant à la version employée.
Un contre-cas concret apparaît si l'on place la verticale dans une zone où la série définissant F diverge : l'intégrande n'est plus fourni par cette série et la formule ne peut pas être appliquée ainsi. Il faut déplacer la droite vers la droite, ou prolonger analytiquement F et justifier séparément tout déplacement de contour.
Un exemple, pas à pas
Prenons les coefficients an = 1 pour tout entier positif n. Leur série de Dirichlet est la fonction zêta de Riemann, notée ζ, dans le demi-plan où la partie réelle de s dépasse 1. Choisissons x = 5,5 et une verticale c > 1.
1. Remplaçons F par ζ dans l'intégrale de Perron.
2. La limite symétrique de l'intégrale du noyau associé au rapport 5,5/n vaut 1 lorsque n < 5,5 et 0 lorsque n > 5,5.
3. Les indices retenus sont donc 1, 2, 3, 4 et 5.
4. Chacun porte le coefficient 1, d'où la somme 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5.
2. La limite symétrique de l'intégrale du noyau associé au rapport 5,5/n vaut 1 lorsque n < 5,5 et 0 lorsque n > 5,5.
3. Les indices retenus sont donc 1, 2, 3, 4 et 5.
4. Chacun porte le coefficient 1, d'où la somme 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5.
La formule donne ainsi exactement : , l'intégrale étant comprise comme limite symétrique. Le contrôle est direct : le nombre d'entiers positifs inférieurs ou égaux à 5,5 est bien 5.
En pratique
Pour étudier une fonction de comptage arithmétique, on encode ses coefficients dans une série de Dirichlet, puis on choisit une verticale où cette série converge absolument. Une somme directe reste préférable lorsque la coupure est petite et que tous les termes sont accessibles.
Pour obtenir une estimation asymptotique, on tronque l'intégrale à une hauteur finie, puis on déplace éventuellement le contour. Les pôles rencontrés fournissent les termes principaux par leurs résidus ; les nouveaux segments et la troncature doivent être estimés.
Dans les problèmes liés aux nombres premiers, le choix des coefficients conduit souvent à des fonctions construites à partir de la fonction zêta. Une autre sommation lissée peut être préférable lorsque la coupure nette produit un terme d'erreur trop difficile à contrôler.
À ne pas confondre
Le théorème de Perron–Frobenius. Il concerne les valeurs propres et les vecteurs propres de matrices à coefficients positifs ou non négatifs. Si le problème porte sur une matrice plutôt que sur une somme de coefficients d'une série de Dirichlet, ce n'est pas la formule de Perron étudiée ici.
La transformée de Mellin. Elle transforme une fonction en une fonction d'une variable complexe. La formule de Perron emploie une inversion de type Mellin avec le noyau xs/s pour sélectionner des indices ; elle n'est donc pas le nom général de toute transformée de Mellin.
Limites et pièges
Coupure entière. À x = 5, le noyau symétrique vaut 1/2 au bord : avec les coefficients tous égaux à 1, la somme primée vaut 4 + 1/2, et non 5. Pour compter cinq entiers avec poids entier, on choisit une coupure non entière entre 5 et 6, ou l'on corrige explicitement le terme de bord.
Intégrale tronquée. Remplacer l'infini par une hauteur finie T ne donne généralement plus une égalité exacte. Le symptôme est une transition imparfaite près de n = x. Il faut conserver et majorer le terme d'erreur.
Déplacement de contour. Traverser un pôle sans ajouter son résidu fait disparaître précisément un terme principal attendu. Il faut inventorier les singularités franchies et justifier que les autres côtés du contour ont la limite annoncée.
Coefficients signés ou complexes. La somme obtenue n'est alors pas nécessairement croissante et ne représente pas un dénombrement. Il faut l'interpréter comme une somme pondérée, en conservant les signes ou les phases des coefficients.
Pour aller plus loin
La série de Dirichlet montre comment les coefficients arithmétiques sont encodés dans la fonction intégrée par la formule de Perron.
La transformée de Mellin replace le noyau xs/s et l'intégration verticale dans leur cadre analytique.
La fonction zêta de Riemann prolonge l'exemple conducteur et ouvre la voie aux applications concernant les nombres premiers.
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