série de Dirichlet

Prenez les nombres 1, 1/4, 1/9, 1/16… et additionnez-les. Chaque terme vient d’un entier positif élevé au carré, puis placé au dénominateur. La somme avance par approximations successives : après quatre termes, elle vaut 205/144, soit environ 1,4236.

Une série de Dirichlet généralise ce geste. Une suite choisit le poids de chaque entier, tandis qu’un nombre complexe peut régler la diminution et l’oscillation des contributions. Avec des poids tous égaux à 1, on obtient la fonction zêta de Riemann.

Une série de Dirichlet associe une fonction d’une variable complexe à une suite de coefficients complexes. La variable est notée s et le coefficient attaché à l’entier positif n est noté a_n. Dans la forme restreinte, la fonction f est donnée par $f(s)={\sum }_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}f(s)=\backslash sum\_\{n=1\}^\{+\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{n^s\}$. Comme n est positif, la puissance complexe n^s se lit à partir du logarithme réel de n.

La forme générale remplace les logarithmes des entiers par une suite d’exposants réels. Son n-ième terme, noté λ_n, doit être positif ; la suite doit être strictement croissante et non bornée. La définition devient $f(s)={\sum }_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{-s{\lambda }_n}f(s)=\backslash sum\_\{n=1\}^\{+\backslash infty\}a\_n\; e^\{-s\backslash lambda\_n\}$. La forme restreinte se réécrit avec ${\lambda }_n=\log n\backslash lambda\_n=\backslash log\; n$. Toutefois, λ₁ vaut 0 : si « positif » signifie strictement supérieur à 0, il faut isoler le terme n = 1 avant d’identifier les deux écritures.

Ces écritures définissent f seulement pour les valeurs de s où la série converge. Lorsque tous les coefficients valent 1, la forme restreinte donne la fonction zêta de Riemann dans son domaine de convergence.

Quatre données organisent une série de Dirichlet. Les coefficients a_n fixent le poids, éventuellement complexe, associé à chaque rang n. La partie réelle de la variable complexe s agit sur la taille des termes ; sa partie imaginaire peut produire une oscillation. Les dénominateurs n^s, ou les exposants λ_n dans la forme générale, ordonnent ces contributions. Enfin, le signe de somme indique que l’on considère la limite des sommes partielles.

Le coefficient et le facteur dépendant de s doivent être combinés avant l’addition. Modifier s change donc tous les termes à la fois, tandis que modifier un seul coefficient ne touche qu’un rang. Dans la forme générale, la croissance sans borne des λ_n garantit que les fréquences continuent de progresser ; elle ne garantit pas, à elle seule, la convergence. Ces données suffisent à former chaque somme partielle et à chercher les valeurs de s pour lesquelles leur limite existe.

On étudie la série restreinte dont tous les coefficients valent 1, au point réel s = 2. Données : a_n = 1 pour chaque entier n ≥ 1 ; s = 2 ; quatre termes sont conservés. La figure rend visible le poids exact de chacun de ces quatre termes.

1. Le terme de rang n est 1/n². Les quatre premiers termes sont donc 1, 1/4, 1/9 et 1/16.

2. On les place au même dénominateur : $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}=\frac{144+36+16+9}{144}1+\backslash frac14+\backslash frac19+\backslash frac1\{16\}=\backslash frac\{144+36+16+9\}\{144\}$.

3. La quatrième somme partielle vaut exactement 205/144, soit environ 1,4236.

4. Pour contrôler le calcul, on ajoute le cinquième terme, 1/25. La somme suivante vaut 5269/3600, soit environ 1,4636 ; elle est bien supérieure à 205/144 puisque tous les termes ajoutés sont positifs.

La limite de ces sommes partielles est ζ(2), une valeur particulière de la fonction zêta de Riemann. Le calcul à quatre termes est une approximation par défaut, pas la valeur exacte de ζ(2).

Pour obtenir une valeur numérique, on calcule des sommes partielles et l’on augmente le nombre de termes jusqu’à atteindre la précision voulue, avec un contrôle du reste. Lorsqu’une formule exacte est déjà connue au point étudié, elle est préférable à une troncature non accompagnée d’une estimation d’erreur.

Pour étudier une suite arithmétique, on place ses valeurs dans les coefficients a_n, puis on observe l’effet de la variable s. Si l’information doit plutôt être organisée selon les puissances successives d’une variable, une série entière est le cadre naturel ; le facteur 1/n^s signale, lui, une série de Dirichlet.

Pour reconnaître la fonction zêta de Riemann dans son domaine de convergence, on vérifie que chaque coefficient vaut 1. Si les coefficients changent, la série reste éventuellement une série de Dirichlet, mais elle ne représente plus cette fonction zêta.

Une série entière additionne des termes de la forme a_nzⁿ, où les puissances de la variable changent avec n. Dans une série de Dirichlet restreinte, la variable s apparaît au contraire dans n^−s. Par exemple, Σzⁿ relève des séries entières, tandis que Σ1/n^s relève des séries de Dirichlet.

L’écriture d’une série ne garantit pas sa convergence. Avec a_n = 1 et s = 1, on obtient la série harmonique, qui diverge. Il faut donc déterminer un domaine de convergence avant d’employer la somme comme une fonction.

Convergence et convergence absolue ne sont pas synonymes. Avec a_n = (−1)ⁿ⁻¹ et s = 1, la série converge, mais la série des valeurs absolues redevient la série harmonique et diverge. Il faut annoncer le type de convergence utilisé.

La forme générale exige des λ_n positifs, strictement croissants et non bornés. Une suite constante ou bornée ne respecte donc pas cette définition, même si l’expression Σa_ne^−sλ_n peut être écrite formellement. De plus, le choix λ_n = log n donne λ₁ = 0. Si la positivité est stricte, il faut isoler le premier terme avant de relier les deux formes.

Une formule donnée par la série et un prolongement de la fonction ne partagent pas nécessairement le même domaine. Hors du domaine de convergence, on ne doit pas additionner formellement les termes ; un prolongement analytique demande un argument distinct.

La fonction zêta de Riemann montre ce que devient la forme restreinte lorsque tous les coefficients valent 1. Elle permet de prolonger l’exemple conducteur au-delà de ses premières sommes partielles.

La convergence absolue précise une distinction décisive : une série peut converger alors que la somme des modules de ses termes diverge.

Le Prolongement analytique (principe du) explique comment une fonction initialement définie sur un domaine peut recevoir une extension cohérente, sans confondre cette extension avec la série d’origine.