AnalyseObjet mathématique · Glossaire
série de Riemann
Pour z ∈ ℂ, on appelle série de Riemann toute série de la forme S(z) = Σₙ₌₁^∞ 1/nᶻ. Elle converge absolument pour Re(z) > 1 et diverge pour Re(z) ≤ 1. Le cas particulier z = 1 donne la série harmonique Σ 1/n, qui est l'exemple le plus simple et le plus connu ; elle diverge. Lorsque z est un réel α > 1, on parle également de série de Riemann d'exposant α, ou de série p avec p = α. La fonction zêta de Riemann ζ(z) est le prolongement analytique de S(z) à l'ensemble du plan complexe, sauf en z = 1.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les termes, l’exposant et les sommes partielles d’une série de Riemann.
- Appliquer le seuil de convergence absolue Re(z) > 1.
- Refaire le calcul des quatre premiers termes pour z = 2.
- Distinguer la série divergente hors de son domaine de la fonction zêta prolongée.
En clair
Prenons les inverses des carrés : 1, 1/4, 1/9, 1/16, puis continuons sans fin. Leur somme se rapproche d’une valeur finie, car les nouveaux termes deviennent assez petits. Avec les simples inverses 1, 1/2, 1/3, 1/4, la somme continue au contraire de grandir sans limite.
Une série de Riemann organise précisément cette expérience : l’exposant placé sur le nombre entier décide de la vitesse à laquelle les termes diminuent. Pour un exposant réel, la frontière est 1 : au-dessus, la série converge ; à 1 ou en dessous, elle diverge.
Définition
Une série de Riemann est une somme infinie indexée par les entiers positifs. Son paramètre est un nombre complexe z. Le terme de rang n, où n vaut 1, 2, 3, etc., est 1/nz. La série s’écrit : .
La partie réelle de z, notée Re(z), commande la taille des termes : leur module vaut 1/nRe(z). La somme converge absolument lorsque Re(z) > 1. Elle diverge lorsque Re(z) ≤ 1. Si z est un nombre réel α supérieur à 1, cette même somme est aussi appelée série de Riemann d’exposant α, ou série p avec p = α.
À la valeur z = 1, on obtient la série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + ⋯, qui diverge. La fonction zêta de Riemann, notée ζ(z), coïncide avec la somme S(z) dans le domaine Re(z) > 1. Son prolongement analytique l’étend au reste du plan complexe, sauf au point z = 1.
De quoi c'est fait
La série repose sur cinq éléments. L’exposant complexe z fixe le problème étudié. L’indice entier n parcourt 1, 2, 3, puis tous les entiers positifs. Chaque indice produit un terme 1/nz. Les N premiers termes forment une somme partielle SN(z). Enfin, la limite de ces sommes partielles, si elle existe, donne S(z).
L’exposant détermine donc la taille des termes, et cette décroissance détermine le comportement des sommes partielles. Pour z = 2, les termes sont les inverses des carrés et la série converge. Pour z = 1, ils deviennent les simples inverses et la série harmonique diverge. Le nom, la couleur ou le tracé d’une représentation ne définissent pas la série : seuls l’indice, le terme général et le passage à la limite le font.
Un exemple, pas à pas
Étudions l’exposant réel z = 2. Les données sont les quatre premiers indices n = 1, 2, 3 et 4, avec le terme 1/n2.
1. Les quatre termes sont 1, 1/4, 1/9 et 1/16.
2. Après deux termes, la somme partielle vaut S2(2) = 1 + 1/4 = 5/4.
3. Après trois termes, elle vaut S3(2) = 5/4 + 1/9 = 49/36.
4. Après quatre termes, elle vaut S4(2) = 49/36 + 1/16 = 205/144, soit environ 1,424.
2. Après deux termes, la somme partielle vaut S2(2) = 1 + 1/4 = 5/4.
3. Après trois termes, elle vaut S3(2) = 5/4 + 1/9 = 49/36.
4. Après quatre termes, elle vaut S4(2) = 49/36 + 1/16 = 205/144, soit environ 1,424.
La figure rend visible la diminution rapide des quatre termes calculés. Comme Re(2) = 2 > 1, le critère de Riemann garantit que la somme infinie converge absolument.
Le calcul se contrôle avec le dénominateur commun 144 : 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 = (144 + 36 + 16 + 9)/144 = 205/144. Chaque numérateur correspond ainsi à l’un des quatre termes annoncés.
En pratique
Devant une somme de la forme Σ 1/nα, on lit d’abord l’exposant réel α. S’il dépasse 1, on conclut à la convergence ; s’il vaut 1 ou moins, on conclut à la divergence. Ce critère direct remplace un calcul terme par terme.
Pour approcher numériquement une série convergente, on additionne un nombre fini de termes. Avec α = 2, les quatre premiers donnent déjà 205/144. Si l’on a besoin de la somme infinie plutôt que d’une approximation, cette somme partielle ne suffit pas : il faut aussi contrôler les termes restants.
Quand l’exposant est complexe, on observe Re(z), et non z comme s’il s’agissait d’un réel. Le bon critère est Re(z) > 1. Hors de ce demi-plan, la série elle-même ne fournit pas de somme ; pour étudier ζ(z), on passe alors au prolongement analytique.
À ne pas confondre
Série de Riemann et fonction zêta de Riemann. La série Σ 1/nz converge seulement lorsque Re(z) > 1. La fonction ζ(z), obtenue par prolongement analytique, existe aussi ailleurs, sauf en z = 1. Ainsi, une valeur de ζ(z) hors du demi-plan de convergence n’est pas la somme convergente de cette série.
Série de Riemann et série harmonique. La série harmonique est le cas précis z = 1, pas un synonyme de toute série de Riemann. Le test est immédiat : si les termes sont 1/n, la série diverge ; avec les termes 1/n2 de l’exemple, elle converge.
Limites et pièges
La frontière Re(z) = 1 est exclue. Le symbole > est strict : au point z = 1, la série harmonique diverge. Plus généralement, la série de Riemann diverge sur toute cette frontière. Il ne faut donc pas conclure à partir d’un arrondi qui ferait apparaître une partie réelle égale à 1.
Un terme qui tend vers zéro ne suffit pas. Pour z = 1, le terme 1/n tend vers zéro, mais sa série diverge. Le comportement de chaque terme est une condition nécessaire de convergence, pas une preuve suffisante ; il faut appliquer le seuil Re(z) > 1.
Une somme partielle n’est pas la somme infinie. Dans l’exemple, 205/144 est exactement S4(2), pas S(2). Les termes suivants sont encore positifs. Il faut annoncer le rang N lorsqu’on donne une approximation issue des N premiers termes.
Le prolongement analytique ne fait pas converger la série. Hors de Re(z) > 1, ζ(z) peut être définie sauf en z = 1, mais l’expression Σ 1/nz reste divergente. Il faut distinguer la fonction prolongée de sa représentation initiale par une série.
Pour aller plus loin
Convergence absolue — Précise pourquoi la somme des modules contrôle la série lorsque Re(z) > 1.
Série harmonique — Approfondit le cas charnière z = 1 et sa divergence malgré des termes qui tendent vers zéro.
Prolongement analytique (principe du) — Montre comment une fonction définie localement se poursuit au-delà de son domaine initial.
La fonction zêta et l'hypothèse de Riemann — Présente le rôle de ζ dans l’hypothèse de Riemann.
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