AnalysePersonnage · Glossaire
développement d'Euler
En théorie analytique des nombres, un développement eulérien est un produit infini indexé par les nombres premiers. Pour la fonction zêta de Riemann et tout réel s > 1, il exprime la somme des termes 1/nˢ comme le produit des facteurs 1/(1 − p⁻ˢ), où p parcourt tous les nombres premiers. Cette identité repose sur la factorisation unique des entiers et relie ainsi leur structure multiplicative aux propriétés de la fonction zêta.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire l'identité d'Euler et identifier le rôle de chaque indice.
- Relier le produit sur les nombres premiers à la somme sur les entiers.
- Recalculer les quatre premiers produits partiels de ζ(2).
- Distinguer produit infini, produit partiel, problème de Bâle et identité complexe d'Euler.
En clair
Prenez les nombres premiers dans l'ordre : 2, 3, 5, 7… À chacun, associez un facteur, puis multipliez tous ces facteurs. Le développement d'Euler transforme ainsi une somme portant sur les entiers en un produit portant seulement sur les nombres premiers.
Ce passage est possible parce que chaque entier se décompose de manière unique en facteurs premiers. Pour la fonction zêta, le produit reconstitue donc, sans doublon, les termes correspondant à 1, 2, 3, 4, 5 et à tous les autres entiers.
Définition
Pour un réel s strictement supérieur à 1, la fonction zêta de Riemann est la somme des inverses des puissances s-ièmes des entiers positifs. Le développement eulérien exprime la même valeur comme un produit infini dont l'indice p parcourt tous les nombres premiers :
Chaque facteur du produit est la somme d'une série géométrique :
En développant le produit, on choisit pour chaque nombre premier p une puissance pk. L'unicité de la décomposition d'un entier en facteurs premiers fait apparaître exactement une fois le terme 1/ns associé à chaque entier positif n.
Pour s = 2, l'identité relie le produit sur les nombres premiers au problème de Bâle : la somme des inverses des carrés vaut exactement π²/6. La condition s > 1 est essentielle ici : elle assure la convergence de la série et du produit dans leur sens ordinaire.
Où on le rencontre
On rencontre un développement eulérien dans une formule où le symbole de produit ∏ est suivi d'une condition portant sur les nombres premiers. Trois marqueurs le signalent : l'indice p représente un nombre premier, le produit s'étend sur une infinité de tels p, et chaque facteur dépend d'une puissance de p.
Dans le cas de la fonction zêta, le facteur est 1/(1 − p−s) et le réel s doit être supérieur à 1. Cette écriture porte une information structurelle : une somme sur tous les entiers peut être organisée à partir de leurs briques premières.
Le mode d'emploi
La grandeur lue est la valeur de ζ(s). Pour interpréter le produit, commencez par vérifier que le réel s est strictement supérieur à 1. Repérez ensuite que p parcourt tous les nombres premiers, et non tous les entiers. Enfin, développez mentalement chaque facteur comme 1 + p−s + p−2s + … : le choix des exposants compose les facteurs premiers d'un entier n.
La convention ∏p impose un produit infini. À l'écran, quelques facteurs peuvent donner l'impression que le calcul est terminé ; ils ne forment pourtant qu'un produit partiel. Pour s > 1, ajouter un nouveau nombre premier multiplie la valeur par un facteur supérieur à 1 et la rapproche de ζ(s), sans l'atteindre après un nombre fini d'étapes.
Un exemple, pas à pas
Calculons un produit partiel pour s = 2 afin d'approcher ζ(2), dont la valeur exacte est π²/6. Nous retenons successivement les nombres premiers 2, 3, 5 et 7.
Données :
s = 2 ;
nombres premiers retenus : 2, 3, 5 et 7 ;
facteur associé à p : 1/(1 − p−2).
s = 2 ;
nombres premiers retenus : 2, 3, 5 et 7 ;
facteur associé à p : 1/(1 − p−2).
1. Avec p = 2, le produit vaut 1/(1 − 1/4) = 4/3.
2. Avec 2 et 3, il vaut (4/3) × (9/8) = 3/2.
3. En ajoutant 5, il vaut (3/2) × (25/24) = 25/16.
4. En ajoutant 7, il vaut (25/16) × (49/48) = 1225/768 ≈ 1,595052.
2. Avec 2 et 3, il vaut (4/3) × (9/8) = 3/2.
3. En ajoutant 5, il vaut (3/2) × (25/24) = 25/16.
4. En ajoutant 7, il vaut (25/16) × (49/48) = 1225/768 ≈ 1,595052.
Le résultat reste inférieur à ζ(2) = π²/6 ≈ 1,644934, comme le montre la progression des produits partiels. Le contrôle est refaisable en calculant séparément 1225 ÷ 768 ≈ 1,595052 et 3,141593² ÷ 6 ≈ 1,644935 ; l'écart du dernier chiffre vient de l'arrondi choisi pour π.
En pratique
Pour reconnaître un développement eulérien, cherchez un produit indexé par les nombres premiers. Si l'indice parcourt tous les entiers, il s'agit d'une autre organisation et le mécanisme de factorisation première ne s'applique pas de la même façon.
Pour obtenir une approximation de ζ(s), on peut tronquer sa série ou son produit eulérien. Le produit est particulièrement parlant lorsque l'on étudie le rôle des nombres premiers ; la série est plus directe lorsque l'on veut simplement additionner les premiers termes 1/ns.
Pour contrôler un calcul à s = 2, conservez les fractions exactes aussi longtemps que possible. Le passage prématuré aux décimales masque les simplifications, tandis que 4/3, 3/2, 25/16 et 1225/768 montrent chaque multiplication.
À ne pas confondre
Le développement eulérien est un produit infini indexé par les nombres premiers. Une série comme Σ 1/ns additionne au contraire des termes indexés par tous les entiers ; l'identité d'Euler affirme que ces deux écritures donnent la même valeur lorsque s > 1.
L'identité d'Euler désigne ici l'égalité entre la série de la fonction zêta et son produit sur les nombres premiers. Elle ne doit pas être confondue avec la formule complexe eiπ + 1 = 0 : la présence de ζ(s), de ∏ et de nombres premiers tranche immédiatement.
Le problème de Bâle demande la valeur de la somme des inverses des carrés. Le développement eulérien est une représentation plus générale de ζ(s) ; choisir s = 2 relie les deux notions sans les rendre synonymes.
Limites et pièges
La condition s > 1 ne se supprime pas. À s = 1, la série harmonique diverge et le produit infini ne fournit pas une valeur finie. Il faut rester dans le domaine annoncé pour utiliser l'égalité sous cette forme.
Un produit partiel n'est pas ζ(s). Avec les seuls nombres premiers 2, 3, 5 et 7 à s = 2, on obtient 1225/768 ≈ 1,595052, et non π²/6 ≈ 1,644934. Il faut ajouter d'autres facteurs ou annoncer explicitement l'approximation.
Les exposants ne sont pas limités à 0 ou 1. Le facteur géométrique associé à p contient p−2s, p−3s et toutes les puissances suivantes. Les omettre ferait disparaître les entiers divisibles par un carré ou une puissance supérieure d'un nombre premier.
π²/6 est une valeur exacte. Seules les écritures décimales 1,595052 et 1,644934 sont arrondies. Le signe ≈ doit donc accompagner ces décimales, tandis que l'égalité reste réservée aux fractions et à π²/6.
Pour aller plus loin
La fiche fonction zêta de Riemann développe la fonction dont l'identité d'Euler révèle la structure première.
Le glossaire problème de Bâle approfondit le cas s = 2 et la valeur exacte π²/6.
L'article L'inépuisable théorème des nombres premiers prolonge le lien entre analyse et répartition des nombres premiers.
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