fonction de Moebius

Prenez 30 et décomposez-le : 30 = 2 × 3 × 5. Aucun nombre premier n'y apparaît deux fois. La fonction de Möbius compte alors trois facteurs premiers distincts et renvoie −1, car ce nombre est impair.

Avec 6 = 2 × 3, elle renvoie au contraire 1 : il y a deux facteurs. Dès qu'un carré premier se cache dans le nombre, comme 2² dans 12, le comptage s'arrête et la valeur devient 0.

La fonction de Möbius est la fonction arithmétique notée μ qui associe à chaque entier naturel non nul l'une des trois valeurs −1, 0 ou 1. Pour l'entier n, sa valeur dépend uniquement de la décomposition de n en facteurs premiers.

Le cas n = 1 suit la convention μ(1) = 1. Si aucun carré de nombre premier ne divise n, l'entier est dit sans facteur carré. En notant k le nombre de ses facteurs premiers distincts, on a alors μ(n) = (−1)^k. Une valeur égale à 1 signale un nombre pair de facteurs distincts ; une valeur égale à −1 en signale un nombre impair. Si un carré premier divise n, alors μ(n) = 0.

Ces trois cas se rassemblent dans la formule suivante.

La règle porte sur les facteurs premiers distincts, et non sur le nombre total de facteurs écrits avec leurs multiplicités.

Quatre éléments organisent le calcul. Le domaine contient les entiers naturels non nuls. La décomposition en facteurs premiers révèle les nombres premiers présents et leurs exposants. Le test du facteur carré examine ces exposants : dès que l'un d'eux vaut au moins 2, la sortie est 0. Sinon, la parité du nombre k de facteurs premiers distincts fixe le signe de (−1)^k.

La décomposition commande donc d'abord le test du carré, puis le comptage. Pour 30 = 2 × 3 × 5, tous les exposants valent 1 et k = 3, d'où μ(30) = −1. L'ordre dans lequel on écrit 2, 3 et 5 ne change ni le test ni le résultat. Ces données suffisent à déterminer μ(n).

Calculons μ(30). Les données sont l'entier positif n = 30 et sa décomposition à établir. Le résultat doit appartenir à {−1, 0, 1}.

1. Décomposons 30 en facteurs premiers : 30 = 2 × 3 × 5.

2. Les trois facteurs 2, 3 et 5 sont distincts. Chacun apparaît avec l'exposant 1, donc aucun carré premier ne divise 30. La figure matérialise ce test avant le choix du signe.

3. Le nombre de facteurs premiers distincts est k = 3. La définition donne μ(30) = (−1)³ = −1.

4. Contrôlons les deux embranchements : 30 n'est divisible ni par 2² = 4, ni par 3² = 9, ni par 5² = 25 ; la valeur 0 est donc exclue. Le comptage direct confirme que trois est impair, donc que le signe est négatif.

Pour calculer μ(n), factorisez d'abord l'entier n. Si un exposant de la décomposition est au moins égal à 2, arrêtez-vous avec 0 ; sinon, comptez les facteurs premiers et regardez si ce nombre est pair ou impair. Une factorisation complète est préférable à des divisions au hasard, car elle contrôle simultanément les répétitions et la parité.

Pour retrouver une fonction arithmétique g à partir des sommes F(n) de ses valeurs sur les diviseurs de n, l'inversion de Möbius s'applique lorsque $F(n)={\sum }_{d\mid n}g(d)F(n)=\backslash sum\_\{d\backslash mid\; n\}g(d)$. Elle donne alors $g(n)={\sum }_{d\mid n}\mu (d)F(n\mathrm{/}d)g(n)=\backslash sum\_\{d\backslash mid\; n\}\backslash mu(d)F(n/d)$. Pour quelques diviseurs seulement, une soustraction directe peut être plus courte ; l'inversion devient systématique quand la même relation doit être traitée pour beaucoup d'entiers.

En théorie analytique des nombres, les coefficients μ(n) interviennent dans la série de Dirichlet réciproque de la fonction zêta de Riemann. L'égalité ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta (s)}\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{\backslash mu(n)\}\{n^s\}=\backslash frac\{1\}\{\backslash zeta(s)\}$ s'emploie directement dans le domaine de convergence absolue, lorsque la partie réelle du nombre complexe s est strictement supérieure à 1. Hors de ce domaine, cette série ne justifie pas à elle seule l'égalité.

Fonction et formule d'inversion de Möbius. La fonction μ attribue un coefficient −1, 0 ou 1 à un entier. La formule d'inversion est une règle qui utilise ces coefficients pour défaire une somme sur les diviseurs. Ainsi, calculer μ(30) relève de la fonction ; retrouver g à partir de F relève de l'inversion.

Fonction arithmétique et transformation de Möbius. Ici, l'entrée est un entier naturel non nul et la sortie appartient à {−1, 0, 1}. Une transformation homographique de Möbius agit au contraire sur une variable complexe par une expression fractionnaire. La distinction repose donc sur le contexte, la définition et la notation, et non sur le seul domaine de l'entrée.

Le cas 1. L'entier 1 n'a aucun facteur premier, mais il ne faut pas conclure que la règle est indéterminée. La convention fait de ce cas charnière une valeur précise : μ(1) = 1.

Une répétition suffit. Un entier peut contenir plusieurs facteurs premiers distincts et avoir pourtant une valeur nulle. Par exemple, 12 = 2² × 3 contient le carré 2² : le symptôme est l'exposant 2, et il faut conclure μ(12) = 0 sans utiliser la parité de deux facteurs distincts.

Compter les exposants serait une erreur. Pour 18 = 2 × 3², le total des exposants vaut 3, mais le carré 3² impose μ(18) = 0. Le calcul de (−1)^k n'est autorisé qu'après avoir vérifié que tous les exposants valent 1.

La série liée à ζ a un domaine. La formule obtenue par sommation directe de μ(n)/n^s est absolument convergente lorsque la partie réelle de s est supérieure à 1. Si cette condition n'est pas satisfaite, il faut préciser le sens analytique employé au lieu de manipuler la série comme une somme ordinaire.

Möbius (fonction de) — Retrouver l'entrée consacrée à la même fonction arithmétique et consolider le rôle des facteurs premiers distincts.

Möbius (formule d'inversion de) — Approfondir la règle qui défait une somme sur les diviseurs grâce aux coefficients μ(d).