fonction arithmétique

Prenons le nombre 12. On peut lui associer 6, parce qu’il possède six diviseurs positifs, ou 28, parce que ces diviseurs ont pour somme 28. Une fonction arithmétique fait précisément ce geste : elle attribue une valeur à chaque entier naturel. Selon la règle choisie, cette valeur compte des diviseurs, additionne ces diviseurs ou repère les entiers premiers avec le nombre étudié. Une même entrée peut donc livrer plusieurs informations arithmétiques distinctes.

Une fonction arithmétique est une application dont l’entrée est un entier strictement positif et dont la valeur est un nombre complexe. Si la fonction est notée f, cette situation s’écrit $f:{\mathbb{N}}_{>0}\to \mathbb{C}f:\backslash mathbb\{N\}\_\{>0\}\backslash to\backslash mathbb\{C\}$. Parmi les règles classiques, φ(n) compte les entiers inférieurs à l’entier n et premiers avec lui, d(n) compte ses diviseurs positifs, σ(n) additionne ces diviseurs et μ(n) désigne la fonction de Möbius.

La fonction f est multiplicative lorsque f(1) = 1 et que, pour deux entiers strictement positifs m et n premiers entre eux, $f(mn)=f(m)f(n)f(mn)=f(m)f(n)$. Elle est complètement multiplicative lorsque f(1) = 1 et que cette égalité reste vraie sans condition sur m et n. La seconde propriété est donc plus exigeante que la première.

Deux fonctions arithmétiques peuvent aussi être combinées par le produit de Dirichlet. Pour les fonctions f et g, sa valeur à l’entier positif n est la somme des produits obtenus en parcourant tous les diviseurs positifs d de n : $(f\ast g)(n)={\sum }_{d\mid n}f(d)g(n\mathrm{/}d)(f\; \backslash ast\; g)(n)=\backslash sum\_\{d\backslash mid\; n\}\; f(d)g(n/d)$. Avec l’addition usuelle et ce produit, les fonctions arithmétiques définies sur les entiers strictement positifs forment un anneau commutatif.

Quatre éléments organisent une fonction arithmétique. Le domaine fournit les entiers strictement positifs auxquels la règle s’applique. La règle associe à chaque entrée une valeur complexe. Les valeurs enregistrent alors une information choisie, comme un nombre ou une somme de diviseurs. Enfin, une loi de combinaison, telle que le produit de Dirichlet, fabrique une nouvelle fonction à partir de deux autres.

Le domaine détermine les entrées admissibles, tandis que la règle détermine entièrement les valeurs. Dans le produit de Dirichlet, la valeur à n dépend à la fois des diviseurs d de n et des valeurs des deux fonctions en d et en n/d. La multiplicativité décrit une propriété supplémentaire de certaines règles ; elle ne fait pas partie de la définition de toute fonction arithmétique. Ces données suffisent à calculer la fonction entier par entier et à comparer ses propriétés.

Étudions l’entier 12. Les données nécessaires sont ses diviseurs positifs 1, 2, 3, 4, 6 et 12, ainsi que les entiers 1, 5, 7 et 11, tous inférieurs à 12 et premiers avec lui. Pour le produit de Dirichlet, prenons deux fonctions qui valent constamment 1.

1. Compter les six diviseurs donne d(12) = 6.

2. Les additionner donne σ(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28.

3. Compter les quatre entiers annoncés qui sont premiers avec 12 donne φ(12) = 4.

4. Pour les deux fonctions constantes égales à 1, chaque diviseur apporte le produit 1 × 1. Le calcul du produit de Dirichlet est donc : $(1\ast 1)(12)={\sum }_{d\mid 12}1\times 1=6(1\; \backslash ast\; 1)(12)=\backslash sum\_\{d\backslash mid\; 12\}1\backslash times\; 1=6$.

Le résultat coïncide avec d(12). Pour contrôler les calculs, on regroupe les diviseurs par produits égaux à 12 : 1 × 12, 2 × 6 et 3 × 4. Chaque diviseur apparaît une fois dans la somme.

Pour décrire les diviseurs d’un entier, on choisit la fonction adaptée à la question. La fonction d convient si seul leur nombre importe ; σ convient si leur somme est recherchée. À 12, elles donnent respectivement 6 et 28.

Pour compter les restes possibles qui sont premiers avec un entier, on emploie l’indicatrice d’Euler φ. Le critère observable est l’absence de diviseur commun supérieur à 1. Pour 12, les quatre valeurs retenues sont 1, 5, 7 et 11.

Pour combiner deux informations arithmétiques, le produit de Dirichlet remplace un produit terme à terme. On l’utilise lorsque le calcul doit parcourir toutes les décompositions n = d × (n/d). La liste complète des diviseurs sert alors de contrôle.

Une fonction arithmétique n’est pas une opération arithmétique isolée. La première associe une valeur à chaque entier naturel ; la seconde, comme une addition, combine des nombres. Ainsi, d attribue 6 à l’entrée 12 : ce choix d’une entrée distingue la fonction de l’opération.

Le produit de Dirichlet n’est pas le produit terme à terme de deux fonctions. À l’entrée 12, il additionne un terme pour chacun des six diviseurs de 12. Un produit terme à terme ne prendrait que les deux valeurs des fonctions directement à l’entrée 12.

La présence du mot « arithmétique » ne rend pas automatiquement une fonction multiplicative. Le test porte sur deux entrées premières entre elles : il faut vérifier l’égalité entre la valeur au produit et le produit des deux valeurs. Sans cette vérification, la fonction reste seulement arithmétique.

La multiplicativité ne permet pas de supprimer la condition « premiers entre eux ». Pour 2 et 6, cette condition échoue puisqu’ils ont 2 comme diviseur commun. Une égalité valable pour toute paire d’entiers relève de la complète multiplicativité, propriété plus forte.

Les sommes sur les diviseurs demandent une entrée positive. À l’entrée 0, tous les entiers non nuls divisent 0 : la liste n’est pas finie et la somme du produit de Dirichlet donnée ici ne s’applique pas. Il faut donc restreindre ce calcul à n ≥ 1.

Le cas n = 1 exige une convention attentive pour φ. La valeur usuelle est φ(1) = 1, afin de compter l’unique classe de restes modulo 1, même si aucun entier positif n’est strictement inférieur à 1. Il ne faut donc pas appliquer mécaniquement la formulation « inférieurs à n » à ce cas charnière.

La fiche Möbius (fonction de) approfondit l’un des exemples classiques et son rôle parmi les fonctions arithmétiques.

La notion de Premiers entre eux précise la condition qui sépare multiplicativité et complète multiplicativité.

La fiche anneau commutatif éclaire la structure obtenue avec l’addition et le produit de Dirichlet.

L’article Connaître les diviseurs... sans diviser prolonge le travail concret sur les diviseurs utilisé dans l’exemple de 12.