nombre abondant

Prenons 12 et rangeons ses diviseurs sans compter 12 lui-même : 1, 2, 3, 4 et 6. Leur somme vaut 16. Elle dépasse donc le nombre de départ de 4 unités : 12 est abondant.

L'image est celle d'un entier qui reçoit plus que sa propre valeur lorsqu'on additionne toutes ses « parts » divisantes. Les premiers exemples sont 12, 18, 20 et 24.

Un nombre abondant est un entier positif dont la somme des diviseurs stricts est supérieure à l'entier. Un diviseur strict, aussi appelé diviseur propre, divise l'entier sans reste et diffère de l'entier lui-même. Si l'entier est noté n et si la somme de tous ses diviseurs positifs est notée σ(n), le critère s'écrit $\sigma (n)-n>n\backslash sigma(n)-n>n$, ou de façon équivalente $\sigma (n)>2n\backslash sigma(n)>2n$. La différence entre la somme des diviseurs stricts et n est son abondance.

Les termes nombre excessif et nombre redondant sont des synonymes. Les premiers nombres abondants sont 12, 18, 20 et 24. Tout multiple d'un nombre abondant pair est lui-même abondant ; ainsi, les multiples de 12 comme 24, 36 et 48 le sont. Tout multiple strict d'un nombre parfait est également abondant : 56, 84 et 112 le sont parce qu'ils sont des multiples stricts de 28.

Un nombre abondant est dit primitif lorsqu'il n'est multiple d'aucun nombre abondant plus petit. Il existe une infinité de nombres abondants et une infinité de nombres abondants primitifs. La notion, introduite par Nicomaque de Gérase au II^e siècle apr. J.-C., s'applique aussi aux entiers impairs, mais le premier d'entre eux est seulement 945.

On veut déterminer si 12 est abondant. Les données sont l'entier 12 et tous ses diviseurs positifs : 1, 2, 3, 4, 6 et 12.

1. On retire 12 de la liste, car un diviseur strict doit être différent du nombre étudié. Il reste 1, 2, 3, 4 et 6.

2. On additionne ces cinq diviseurs stricts :

3. On compare 16 à 12. Comme 16 est strictement supérieur à 12, le verdict est établi. Le schéma des cinq contributions rend visible le total qui dépasse l'entier de départ.

Ainsi, 12 est abondant et son abondance vaut 16 − 12 = 4. Pour contrôler le calcul, on vérifie que chaque nombre retenu divise bien 12 et qu'aucun diviseur strict ne manque.

Pour classer un petit entier, on dresse la liste de ses diviseurs stricts, on les additionne, puis on compare la somme à l'entier. Cette procédure directe convient à 12 ; pour un grand entier, le calcul de σ(n) à partir de sa décomposition en facteurs premiers évite une longue liste.

Pour produire rapidement d'autres exemples, on part d'un nombre abondant pair et on prend un multiple. À partir de 12, on obtient ainsi 24, 36 ou 48 sans refaire tout le test. Si l'on cherche les briques minimales de cette construction, on retient plutôt les nombres abondants primitifs.

Pour situer un entier sans ambiguïté, il faut conserver les trois verdicts possibles : somme inférieure, égale ou supérieure à l'entier. Le mot « abondant » ne s'emploie que dans le troisième cas.

Nombre parfait. La somme de ses diviseurs stricts est exactement égale au nombre, tandis qu'elle est strictement supérieure pour un nombre abondant. Ainsi, 28 est parfait, mais son multiple strict 56 est abondant.

Nombre déficient. La somme de ses diviseurs stricts est inférieure au nombre. Pour 8, la somme 1 + 2 + 4 vaut 7 : 8 est déficient, alors que 12 est abondant. Fibonacci employait le terme défaillant pour un nombre déficient.

Nombre premier. Un nombre premier supérieur à 1 n'a que 1 pour diviseur strict ; il est donc déficient, jamais abondant. Être composé ne suffit toutefois pas : 8 est composé et reste déficient.

Ne pas compter l'entier lui-même. Pour 12, inclure 12 donnerait 28 au lieu de la somme pertinente 16. Le test porte toujours sur les diviseurs stricts, ou bien utilise σ(12) − 12.

Pair ne signifie pas abondant. Les 49 premiers nombres abondants sont pairs, mais de nombreux pairs, comme 8, ne sont pas abondants. Réciproquement, il existe des abondants impairs : le plus petit est 945, identifié par Bachet au XVII^e siècle, et les huit plus petits sont des multiples de 315.

Primitif ne signifie pas premier. Un nombre abondant primitif n'est multiple d'aucun autre nombre abondant ; il peut néanmoins avoir de nombreux diviseurs. Cette condition concerne son ascendance parmi les abondants, non sa primalité.

Le plus petit excès reste mystérieux. Un entier dont les diviseurs stricts auraient pour somme exactement n + 1, pour un entier n, serait « légèrement excessif ». Depuis les recherches des pythagoriciens, l'existence d'un tel entier demeure sans réponse.

Le nombre parfait éclaire le cas frontière où la somme des diviseurs stricts égale exactement l'entier.

Le nombre déficient complète la classification lorsque cette somme reste inférieure à l'entier.

Le nombre premier fournit une famille entière de nombres déficients et clarifie pourquoi « primitif » a ici un autre sens.