ArithmétiqueNotion · Glossaire
partie aliquote
Une partie aliquote d'un entier naturel non nul n est un diviseur strict de n, c'est-à-dire un diviseur de n qui est différent de 1 et de n lui-même. Ainsi, les parties aliquotes d'un entier n sont les diviseurs propres non triviaux de cet entier. Par exemple, les parties aliquotes de 12 sont 2, 3, 4 et 6. La notion de partie aliquote joue un rôle dans la théorie des nombres, notamment dans la définition des nombres parfaits, abondants ou déficients, selon que la somme des parties aliquotes est égale, supérieure ou inférieure à l'entier lui-même.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les parties aliquotes d'un entier parmi tous ses diviseurs.
- Retrouver celles de 12 grâce aux paires de facteurs.
- Calculer leur somme 15 et contrôler qu'aucun diviseur n'a été oublié.
- Distinguer partie aliquote, diviseur quelconque et facteur premier.
- Relier la comparaison de la somme aux nombres parfaits, abondants et déficients.
En clair
Prenons 12 objets et cherchons les groupes égaux possibles. On peut former 2, 3, 4 ou 6 groupes sans reste. Les nombres 2, 3, 4 et 6 divisent donc 12. Ils sont ses parties aliquotes, car on écarte le groupe unique, associé à 1, et les douze groupes d'un objet, associés à 12.
Additionner ces quatre nombres donne 15. Cette somme, comparée à 12, sert ici à reconnaître un nombre abondant.
Définition
Soit un entier naturel non nul n. Dans la convention retenue ici, une partie aliquote de n est un entier positif qui divise n sans reste, tout en étant différent de 1 et de n. L'ensemble des parties aliquotes, noté A(n), s'écrit , où d désigne un diviseur positif de n.
Pour n = 12, les diviseurs positifs sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Après exclusion des deux valeurs triviales, A(12) contient 2, 3, 4 et 6. Une partie aliquote n'est donc pas nécessairement un nombre premier : 4 et 6 en fournissent deux exemples.
La somme de tous les éléments de A(n) permet de comparer leur poids à n. Une somme égale à n caractérise alors un nombre parfait ; une somme supérieure, un nombre abondant ; une somme inférieure, un nombre déficient. Cette comparaison suppose que toutes les parties aliquotes ont été trouvées et comptées une seule fois.
Un exemple, pas à pas
Déterminons les parties aliquotes de 12, puis classons cet entier. La seule donnée est l'entier naturel n = 12.
1. Cherchons les paires de facteurs dont le produit vaut 12 : 1 × 12, 2 × 6 et 3 × 4. Les diviseurs positifs sont donc 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
2. Écartons 1 et 12 conformément à la définition. Il reste quatre parties aliquotes : 2, 3, 4 et 6. La figure rend visible cette sélection parmi tous les diviseurs.
3. Additionnons chaque valeur retenue une seule fois : .
4. Comparons le résultat à l'entier de départ : 15 > 12. Selon ce critère, 12 est abondant. Pour contrôler la liste, les trois paires de facteurs redonnent exactement les six diviseurs, sans oubli ni doublon.
En pratique
Pour dresser la liste, on cherche les facteurs par paires. Avec 12, les produits 1 × 12, 2 × 6 et 3 × 4 suffisent ; on retire ensuite 1 et 12. Cette méthode évite de tester tous les entiers jusqu'à 12.
Pour classer un entier, on additionne une seule fois toutes les valeurs retenues, puis on compare la somme à l'entier. Pour 12, la somme 15 dépasse 12 : le critère conduit à la catégorie des nombres abondants.
Pour contrôler un calcul, on vérifie chaque division. Les quotients 12 ÷ 2 = 6, 12 ÷ 3 = 4, 12 ÷ 4 = 3 et 12 ÷ 6 = 2 sont entiers ; aucun nombre retenu ne laisse de reste.
À ne pas confondre
Une partie aliquote n'est pas n'importe quel diviseur. Pour 12, 1 et 12 sont bien des diviseurs, mais la définition retenue les exclut ; 2, 3, 4 et 6 sont les parties aliquotes.
Une partie aliquote n'est pas davantage un facteur premier. Le nombre 4 divise 12 sans reste et fait partie de la liste, alors qu'il n'est pas premier. Une décomposition en facteurs premiers ne donne donc pas directement toutes les parties aliquotes.
Limites et pièges
Pour n = 1, aucune partie aliquote ne satisfait les exclusions : le seul diviseur positif est 1, qui est aussi l'entier lui-même. Il faut donc conserver un ensemble vide, et non inscrire 1.
Un nombre premier n'a pas non plus de partie aliquote selon cette définition. Ses seuls diviseurs positifs sont 1 et lui-même ; ils sont tous deux écartés.
Dans une recherche par paires, un facteur ne doit jamais être compté deux fois. Si les deux membres d'une paire coïncident, comme 6 × 6 pour 36, la valeur 6 n'apparaît qu'une fois dans la liste.
La classification exige la liste complète. Pour 12, omettre 6 donnerait 2 + 3 + 4 = 9 et ferait croire à tort que la somme est inférieure à 12 ; la vérification par paires prévient ce piège.
Pour aller plus loin
Le nombre parfait est le cas d'équilibre : la somme considérée rejoint l'entier. Le nombre abondant correspond au dépassement, illustré par 12. Le nombre déficient décrit au contraire une somme inférieure à l'entier.
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