Nicomaque de Gérase

Au 2^e siècle, à Gérase, l'actuelle Jerash en Jordanie, Nicomaque observe les entiers comme des objets à classer. Le nombre 6, par exemple, se recompose exactement avec ses diviseurs propres : 1 + 2 + 3 = 6. Cette égalité en fait un nombre parfait.

Son arithmétique ne sépare pas le calcul de la philosophie néo-pythagoricienne. Les nombres ont des propriétés, mais aussi une signification métaphysique dans une tradition résumée par « tout est nombre ».

Nicomaque de Gérase est un mathématicien et philosophe néo-pythagoricien du 2^e siècle, né à Gérase, aujourd'hui Jerash en Jordanie. Son Introduction à l'arithmétique organise l'étude des entiers en catégories. Un nombre figuré représente un arrangement géométrique d'unités ; 6 est ainsi triangulaire, car 1 + 2 + 3 = 6.

Pour classer un entier naturel strictement positif par ses diviseurs, on additionne ses diviseurs positifs autres que lui-même, appelés diviseurs propres. Si la somme égale l'entier, il est parfait ; si elle le dépasse, il est abondant ; si elle lui est inférieure, il est déficient. Deux entiers naturels strictement positifs distincts sont amicaux lorsque la somme des diviseurs propres de chacun donne l'autre. Nicomaque identifie les quatre premiers nombres parfaits et traite aussi ces autres catégories.

Cette classification associe une arithmétique calculable à la portée métaphysique que la tradition pythagoricienne accorde aux nombres. Traduit en latin par Boèce au 6^e siècle, le traité reste un texte d'autorité jusqu'au 13^e siècle. Nicomaque laisse également des ouvrages consacrés à l'harmonique, à la musique et à la théologie de l'arithmétique.

On veut classer 6, 12 et 28 selon la somme de leurs diviseurs propres. Les données sont les trois entiers et, pour chacun, la liste de ses diviseurs positifs autres que lui-même.

1. Pour 6, les diviseurs propres sont 1, 2 et 3. Leur somme vaut 1 + 2 + 3 = 6 : 6 est parfait.

2. Pour 12, ils sont 1, 2, 3, 4 et 6. Leur somme vaut 16, donc dépasse 12 : 12 est abondant.

3. Pour 28, ils sont 1, 2, 4, 7 et 14. Leur somme vaut 28 : 28 est parfait.

Le contrôle consiste à vérifier que chaque diviseur de la liste partage l'entier sans reste et que l'entier lui-même n'a pas été inclus. On retrouve alors les sommes 6, 16 et 28, donc les verdicts parfait, abondant et parfait.

Pour éprouver la classification, on liste les diviseurs propres d'un entier puis on compare leur somme à cet entier. Cette procédure distingue immédiatement les cas parfait, abondant et déficient.

Pour représenter un entier par des points, on cherche plutôt une disposition régulière, par exemple en triangle. Ce critère visuel conduit aux nombres figurés, et non à la classification par somme de diviseurs.

Pour suivre la transmission historique de l'ouvrage, la traduction latine de Boèce est le repère pertinent : elle explique la continuité de son autorité jusqu'au 13^e siècle. Le Manuel d'harmonique et l'Introduction à la musique orientent vers une autre partie de l'œuvre conservée.

Un nombre parfait n'est pas un nombre amical pris isolément. Pour 6, la somme 1 + 2 + 3 redonne 6 : la comparaison porte sur le même entier. Deux nombres amicaux sont distincts et la somme des diviseurs propres de chacun donne l'autre.

Un nombre figuré n'est pas défini par cette somme. Le nombre 6 peut être triangulaire parce qu'il s'écrit 1 + 2 + 3 et parfait parce que ses diviseurs propres sont 1, 2 et 3. Les mêmes valeurs interviennent ici, mais les critères diffèrent.

L'arithmétique de Nicomaque ne se réduit pas à une liste de calculs moderne. La propriété numérique se double, dans son cadre néo-pythagoricien, d'une signification métaphysique ; il faut distinguer ces deux plans sans effacer leur association historique.

Le diviseur égal à l'entier est exclu du calcul. Si l'on ajoute 6 à 1, 2 et 3, la somme devient 12 et l'on classe 6 à tort comme abondant. Il faut donc vérifier la liste des diviseurs propres avant de comparer.

Le seuil est l'entier lui-même, pas zéro ni le nombre de diviseurs. Pour 12, la somme 16 dépasse 12 : le nombre est abondant. Pour 28, la somme égale exactement 28 : il est parfait. Une somme inférieure caractérise le cas déficient.

Dire que Nicomaque « identifie les quatre premiers » renvoie, dans la source, aux nombres parfaits seulement. La formulation ne doit pas être étendue aux nombres figurés, amicaux, abondants ou déficients.

Le statut de texte d'autorité jusqu'au 13^e siècle concerne l'Introduction à l'arithmétique transmise en latin par Boèce. Il ne date pas chacune des catégories ni chacune des autres œuvres de Nicomaque.

Le nombre parfait approfondit l'égalité entre un entier et la somme de ses diviseurs propres.

Les Nombres figurés montrent comment des arrangements géométriques d'unités donnent une autre lecture des entiers.

Les entrées nombre abondant et nombre déficient détaillent les deux inégalités qui encadrent le cas parfait.

La fiche Boèce prolonge l'histoire de la traduction latine qui a transmis l'Introduction à l'arithmétique.