nombre triangulaire

Disposez un point sur une première ligne, deux sur la suivante, puis trois, et continuez ainsi. Les lignes s'empilent en un triangle. Avec sept lignes, on compte 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 points : 28 est donc un nombre triangulaire.

Chaque nouvelle ligne ajoute autant de points que son rang. La suite commence par 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28. Elle traduit en nombres une construction géométrique très simple.

Un nombre triangulaire est un nombre figuré obtenu en rangeant des points sur des lignes de longueurs successives 1, 2, 3, jusqu'à un entier positif donné. Si n désigne le nombre de lignes, le nombre triangulaire de rang n, noté T_n, est la somme des entiers de 1 à n : $T_n=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}T\_n=1+2+\backslash cdots+n=\backslash frac\{n(n+1)\}\{2\}$. La formule vaut pour tout entier n ≥ 1 ; avec la convention de la somme vide, on peut aussi poser T₀ = 0.

La même quantité compte les paires choisies parmi n + 1 objets : $T_n=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{2}\right)T\_n=\backslash binom\{n+1\}\{2\}$. Il faut donc surveiller le décalage d'indice : le nombre de paires parmi n objets est T_n−1, et non T_n.

Deux identités relient cette famille aux carrés et aux cubes. Pour tout entier n ≥ 0, deux termes consécutifs vérifient $T_n+T_{n+1}=(n+1{)}^{2}T\_n+T\_\{n+1\}=(n+1)^2$. Pour tout entier n ≥ 1, le carré du n-ième terme vérifie $T_n^2=1^3+2^3+\cdots +n^{3}T\_n^2=1^3+2^3+\backslash cdots+n^3$. Ces propriétés arithmétiques prolongent la représentation géométrique étudiée depuis l'Antiquité par Pythagore, Nicomaque et Diophante, puis notamment par Al-Haytham et Pascal.

Cherchons le nombre triangulaire de rang 7. Les données sont le rang n = 7 et les sept lignes contenant respectivement 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7 points.

1. Additionnons les longueurs des lignes : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. La figure représente ces 28 points sans en ajouter ni en retrancher.

2. Appliquons la formule avec n = 7 : T₇ = 7 × 8 / 2 = 28. Le nombre triangulaire recherché est donc 28.

3. Contrôlons le résultat en regroupant les termes extrêmes : (1 + 7) + (2 + 6) + (3 + 5) + 4 = 8 + 8 + 8 + 4 = 28.

4. Une seconde vérification utilise le terme suivant, T₈ = 8 × 9 / 2 = 36. La propriété des termes consécutifs donne T₇ + T₈ = 28 + 36 = 64 = 8², qui est bien un carré.

Pour totaliser 1 + 2 + ⋯ + n, utilisez n(n + 1)/2 au lieu d'effectuer toutes les additions. Si les termes ne partent pas de 1 ou n'augmentent pas de 1, une formule de somme arithmétique adaptée est préférable.

Pour décider si un entier positif N est triangulaire, calculez 8N + 1. L'entier N est triangulaire exactement lorsque ce résultat est le carré d'un entier impair. Pour N = 28, on obtient 225 = 15², donc 28 est triangulaire.

Pour compter les poignées de main possibles entre n personnes, comptez les paires, soit n(n − 1)/2 = T_n−1. Le nombre T_n conviendrait à n + 1 personnes : vérifier ce décalage évite une erreur fréquente.

Nombre triangulaire et nombre carré. Un nombre triangulaire s'écrit n(n + 1)/2 ; un nombre carré s'écrit m² pour un entier m. Ainsi, 28 est triangulaire mais n'est pas carré, tandis que 36 est à la fois triangulaire et carré.

Nombre triangulaire et triangle de Pascal. Le premier est un entier figuré ; le second est un arrangement de coefficients binomiaux. Le lien existe, puisque T_n = C(n + 1, 2), mais une ligne entière du triangle de Pascal n'est pas un nombre triangulaire.

Nombre triangulaire et nombre parfait. Être triangulaire concerne une somme d'entiers consécutifs ; être parfait signifie être égal à la somme de ses diviseurs positifs propres. Par exemple, 28 possède les deux propriétés, mais 10 est triangulaire sans être parfait.

Décalage dans les combinaisons. Avec T_n = 1 + ⋯ + n, la formule binomiale exacte est C(n + 1, 2). Écrire C(n, 2) donne T_n−1 : pour n = 7, cela produit 21 au lieu de 28.

Rang zéro. Certaines listes commencent par 0, d'autres par 1. La convention T₀ = 0 prolonge correctement la formule, mais 0 n'est pas toujours retenu parmi les nombres figurés. Il faut annoncer la convention avant de comparer deux listes.

Nombres parfaits. Tout nombre parfait pair est triangulaire : s'il a la forme 2^p−1(2^p − 1), il vaut T_2^p−1. Aucun nombre parfait impair n'est connu ; affirmer sans réserve que tout nombre parfait est triangulaire dépasserait donc ce résultat établi.

Dessin trompeur. Un groupe de points en forme de triangle ne suffit pas si les lignes ne contiennent pas exactement 1, 2, …, n points. Pour valider la construction, comptez chaque rangée ou vérifiez le total avec n(n + 1)/2.

nombre figuré — Situer les nombres triangulaires dans la famille des entiers représentés par des configurations géométriques de points.

nombre carré — Approfondir l'identité qui transforme la somme de deux nombres triangulaires consécutifs en un carré.

nombre parfait — Distinguer la propriété des diviseurs de la représentation triangulaire et préciser leur lien pour les nombres parfaits pairs.

triangle de Pascal — Retrouver T_n parmi les coefficients binomiaux et éclairer le comptage des paires.

somme des n premiers cubes — Poursuivre l'identité selon laquelle cette somme est le carré du nombre triangulaire de rang n.