nombre carré

Disposez 25 points en cinq rangées de cinq. Ils remplissent un carré : 25 est donc un nombre carré. Le nombre de points d'un côté, ici 5, multiplié par lui-même donne le total : 5 × 5 = 25.

Pour agrandir cet arrangement en un carré de six rangées, il faut ajouter une bordure de 11 points. Le total devient 36. Cette bordure impaire fait voir pourquoi les carrés successifs s'obtiennent en ajoutant 1, puis 3, puis 5, et ainsi de suite.

Un nombre carré, ou carré parfait, est un entier qui s'obtient en multipliant un entier par lui-même. On note n l'entier choisi ; son carré est n². Dans la représentation figurée, n est le nombre de points sur chaque côté et n² le nombre total de points. Ainsi, pour n = 5, l'arrangement compte 25 points. Pour n ≥ 1, le passage du carré de rang n à celui de rang n + 1 ajoute une colonne de n + 1 points et une ligne supplémentaire de n points, disjointes, soit 2n + 1 nouveaux points. En partant de 1, les carrés sont donc les sommes successives d'entiers impairs :

On appelle nombre triangulaire T_k de rang k la somme des entiers de 1 à k, et l'on pose T₀ = 0. Pour tout n ≥ 1, le carré n² est aussi la somme des nombres triangulaires de rangs n − 1 et n. Pour n = 5, cela donne 10 + 15 = 25. Ces lectures géométriques, étudiées dès l'Antiquité par l'école pythagoricienne, rendent visibles des identités arithmétiques.

On veut construire le carré qui suit l'arrangement de 25 points. Les données sont le rang initial 5, ses 5 rangées de 5 points et le total 25. Le rang suivant est 6.

1. Calculez le nombre de points de la nouvelle bordure : 2 × 5 + 1 = 11.
2. Ajoutez cette bordure au carré initial : 25 + 11 = 36.
3. Vérifiez le nouveau carré par ses côtés : 6 × 6 = 36.

Le résultat est donc un arrangement carré de 36 points. Un second contrôle utilise les six premiers entiers impairs : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36. Les deux contrôles retrouvent exactement le même total.

Pour savoir si 25 objets peuvent former un carré complet, cherchez un nombre entier de lignes et le même nombre de colonnes. Cinq lignes de cinq conviennent. Avec 26 objets, il reste un objet : un rectangle ou un arrangement incomplet est alors plus adapté.

Pour reconnaître un carré sans dessiner les points, cherchez sa racine carrée entière. La racine carrée de 36 vaut 6, donc 36 est carré. Si la racine n'est pas entière, le nombre n'est pas un carré parfait ; il vaut mieux conserver sa racine exacte ou l'approximer selon le calcul demandé.

Pour additionner les premiers nombres impairs, la forme carrée offre un contrôle direct. Les cinq premiers impairs totalisent 25 ; en ajoutant l'impair suivant, 11, on obtient 36. Une addition ordinaire reste préférable si les termes ne sont pas les impairs consécutifs à partir de 1.

Un nombre carré et une figure carrée. Le premier est un entier, la seconde est une forme géométrique. Un dessin de 5 points sur chacun des quatre côtés ne contient pas nécessairement 25 points ; il faut un arrangement complet de 5 rangées de 5 points.

Un nombre carré et le carré d'un nombre quelconque. Dans le cadre des nombres figurés, le nombre de points est entier. Ainsi, 2,25 est bien le carré de 1,5, mais ce n'est pas un nombre carré entier représentable par des points.

Nombre carré et nombre triangulaire. Un carré de rang n contient n² points ; un triangle de rang n en contient 1 + 2 + … + n. Le nombre 25 est carré mais pas triangulaire, tandis que 36 appartient aux deux familles.

La place de zéro dépend de la convention. Si les entiers naturels comprennent 0, alors 0 = 0² est un carré. La représentation est alors un arrangement vide, et non un carré visible de points. Il faut annoncer la convention avant d'énumérer les nombres carrés.

Le rang géométrique n'est pas négatif. Les entiers 5 et −5 ont le même carré, 25, mais une longueur de côté ou un nombre de rangées se note 5. Pour compter les points, on retient donc la racine carrée non négative.

Une forme presque carrée ne suffit pas. Un arrangement de 26 points peut entourer le carré de 25 points, mais 26 n'est pas un carré parfait. Le test décisif est l'existence d'une racine carrée entière, pas l'apparence du dessin.

Être carré et triangulaire est exceptionnel. Le nombre 36 vérifie 36 = 6² et 36 = 1 + 2 + … + 8, mais tous les carrés n'ont pas cette double forme. Leur recherche conduit à une équation de Pell-Fermat, plutôt qu'à un simple test visuel.

Le nombre triangulaire précise l'autre famille de nombres figurés dont deux termes consécutifs composent un carré.

L'équation de Pell-Fermat donne le cadre arithmétique pour rechercher les entiers qui sont simultanément carrés et triangulaires.

L'article 2025, un nombre très carré ! prolonge la notion autour d'un exemple remarquable.