gnomon d'un nombre figuré

Imaginez 16 points disposés en carré, avec quatre points sur chaque côté. Pour former le carré suivant, qui compte 25 points, on ajoute une bordure de 9 points en forme d’équerre. Cette bordure est le gnomon du passage de 16 à 25.

Le même geste vaut pour d’autres nombres figurés : le gnomon mesure ce qui s’ajoute quand la figure conserve sa forme et gagne un rang.

Un gnomon, ou nombre gnomonique, est l’accroissement entre deux nombres figurés consécutifs de même famille. Pour les nombres polygonaux, on adopte l’indexation standard : k est un entier supérieur ou égal à 3 et les rangs n sont des entiers supérieurs ou égaux à 1. Notons P_k(n) le nombre de points au rang n et prolongeons cette indexation par P_k(0) = 0. Pour tout entier n supérieur ou égal à 0, le gnomon qui fait passer du rang n au rang suivant vaut :

L’indexation doit toujours être précisée. Si le gnomon est nommé par son rang d’arrivée n, avec n entier supérieur ou égal à 1, il vaut P_k(n) − P_k(n − 1), soit $(k-2)n-(k-3)(k-2)n-(k-3)$. Cette convention donne les entiers 1, 2, 3, 4, … pour les triangles, les impairs 1, 3, 5, 7, … pour les carrés et 3n − 2 pour les pentagones. Géométriquement, l’ajout est un segment pour un triangle et une équerre pour un carré. Le principe s’étend au-delà des polygones : pour les cubes, le gnomon est la différence entre deux cubes consécutifs.

On agrandit un carré de points du rang 4 au rang 5. Les données sont : 4 points par côté au départ, 16 points au total, puis 5 points par côté à l’arrivée et 25 points au total.

1. Calculez l’ajout : 25 − 16 = 9 points.
2. Placez 5 nouveaux points le long d’un côté.
3. Placez 4 autres points le long du côté adjacent ; le point d’angle est déjà compté.
4. Réunissez les 9 points ajoutés : ils forment une équerre autour de l’ancien carré.

Le gnomon vaut donc exactement 9 points. Le contrôle par la suite des impairs donne 2 × 5 − 1 = 9, car on nomme ici le gnomon par son rang d’arrivée, 5.

Avec une figure de points, on repère le gnomon en conservant la figure ancienne et en isolant seulement les points ajoutés. Pour le carré de 16 à 25 points, cette bordure compte 9 points et dessine une équerre.

Avec une suite numérique, on soustrait deux termes consécutifs. Cette approche est préférable au dessin lorsque seuls les nombres sont connus : 25 − 16 révèle immédiatement le gnomon 9.

Pour reconnaître une famille polygonale, on observe aussi la suite de ses gnomons. Les entiers successifs signalent les triangles, les impairs les carrés et les valeurs 3n − 2, avec n comme rang d’arrivée, les pentagones.

Le nombre figuré compte toute la figure, tandis que le nombre gnomonique compte seulement l’ajout entre deux rangs. Dans le passage du carré 16 au carré 25, 25 est le nombre figuré d’arrivée et 9 est son gnomon.

Il ne faut pas davantage confondre le rang avec le gnomon. Au rang d’arrivée 5 d’un carré, le rang vaut 5, mais l’accroissement vaut 9 : ces deux nombres ne décrivent pas la même chose.

Décalage d’indice. La formule change d’apparence selon que n désigne le rang de départ ou celui d’arrivée. Pour un carré, le passage de n à n + 1 donne 2n + 1 ; le gnomon qui arrive au rang n vaut 2n − 1. Il faut annoncer la convention avant tout calcul.

Rang zéro. Certaines écritures commencent par une figure vide de 0 point, d’autres par la première figure de 1 point. Le premier gnomon reste 1, mais son indice n’est pas le même. Il faut comparer les figures associées aux indices, pas seulement les suites affichées.

Dimension supérieure. Pour des cubes, le gnomon n’est plus une bordure polygonale plane. Entre les cubes de rang n et n + 1, il compte $(n+1{)}^3-n^3=3n^2+3n+1(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1$ éléments. Il faut alors raisonner sur l’ajout en trois dimensions.

Nombres polygonaux — Situez le gnomon dans la famille générale des figures de points construites rang après rang.

Nombres triangulaires — Examinez le cas où les gnomons successifs sont les entiers naturels.

Nombres carrés — Reliez l’équerre ajoutée à la suite des nombres impairs.

Nombres pentagonaux — Prolongez le calcul avec les gnomons de terme général 3n − 2.