gnomon - géométrie -

Imaginez un carré formé de 3 rangées de 3 petits carrés. Ajoutez une rangée et une colonne sur deux côtés voisins : sept petits carrés dessinent une équerre et le grand carré mesure désormais 4 sur 4.

Cette pièce ajoutée est un gnomon. Elle agrandit la figure sans changer sa forme générale. Pour les carrés, les couches successives contiennent 1, 3, 5, 7, … carrés unités : chaque nouvelle couche a un nombre impair de cases.

En géométrie, un gnomon est la partie que l'on ajoute à une figure pour obtenir une figure semblable à la première, donc de même forme à une autre échelle. Héron d'Alexandrie étend cette idée aux figures comme aux nombres.

Notons V la figure initiale et W la partie ajoutée. La réunion de V et W doit pouvoir être envoyée sur V par une similitude, c'est-à-dire une transformation qui conserve les formes. Dans le sens allant de la figure agrandie vers V, son rapport est noté λ et vérifie 0 < λ < 1. Les intérieurs de V et W sont alors pris disjoints : une frontière commune n'ajoute aucune aire.

Pour un carré quadrillé, le gnomon est une équerre. Passer d'un carré de côté n à un carré de côté n + 1 ajoute 2n + 1 carrés unités. Du côté 1 au côté 2, l'ajout compte donc 3 carrés ; du côté 2 au côté 3, il en compte 5. Les ajouts successifs portent les nombres impairs et donnent l'identité $1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^{2}1+3+5+\backslash cdots+(2n-1)=n^2$. Cette lecture relie les nombres figurés de Pythagore aux identités algébriques et à l'extraction de racines carrées. Le triangle équilatéral possède aussi un gnomon, de forme différente. Le carré et le triangle équilatéral fournissent ainsi deux exemples de polygones réguliers ; cette liste n'est pas présentée ici comme exhaustive.

On part d'un carré quadrillé de côté 3 et on veut obtenir un carré de côté 4. Les carreaux ont tous un côté d'une unité. Le carré initial contient 3 rangées de 3 carreaux ; la couche ajoutée comprend une colonne de 4 carreaux et 3 carreaux supplémentaires sur la rangée voisine.

1. L'aire du carré initial vaut 3 × 3 = 9 unités carrées.
2. L'aire du carré agrandi vaut 4 × 4 = 16 unités carrées.
3. La différence vaut 16 − 9 = 7 unités carrées.
4. La colonne de 4 carreaux et les 3 autres carreaux forment donc un gnomon de 7 carreaux, sans chevauchement.

La figure matérialise ce passage : les sept cases jaunes complètent exactement le carré 3 × 3 en un carré 4 × 4.

Contrôle. Les quatre gnomons successifs contiennent 1, 3, 5 puis 7 carreaux. Leur total vaut 1 + 3 + 5 + 7 = 16, ce qui retrouve bien les 16 carreaux du carré de côté 4.

Pour visualiser une somme d'impairs, on emboîte des équerres de 1, 3, 5, 7, … cases. Cette représentation est préférable à une simple addition quand on veut voir pourquoi le total est un carré, et pas seulement obtenir sa valeur.

Pour comparer deux carrés consécutifs, on isole la rangée et la colonne ajoutées. Le gnomon donne immédiatement la différence 2n + 1 entre les aires des carrés de côtés n et n + 1. Une multiplication directe reste plus courte si seule l'aire finale est recherchée.

Pour interpréter une racine carrée entière, on vérifie si un assemblage de cases se décompose en couches impaires complètes. Si la dernière couche est incomplète, le nombre de cases n'est pas le carré parfait suggéré par la construction.

Le gnomon géométrique est une partie ajoutée à une figure. Le gnomon d'un cadran solaire est au contraire un instrument dont l'ombre sert à lire le temps. Une équerre de sept cases relève du premier sens ; une tige qui projette une ombre relève du second.

Le nombre impair et le gnomon ne sont pas le même objet. Dans un carré quadrillé, 7 compte les cases du gnomon qui fait passer du côté 3 au côté 4 ; le gnomon reste la figure en équerre, tandis que 7 est sa mesure en carrés unités.

Sens du rapport. Le rapport λ est inférieur à 1 lorsque la similitude envoie la figure agrandie V ∪ W vers la figure initiale V. Dans le sens inverse, le rapport est supérieur à 1. Il faut donc annoncer le sens de la transformation avant de comparer λ à 1.

Chevauchement. Une pièce qui recouvre l'intérieur de V ne représente pas entièrement une aire ajoutée. Pour compter les cases ou les aires, on choisit W avec un intérieur disjoint de celui de V ; une frontière commune est permise.

Indice des cubes. Pour passer d'un cube de côté n à un cube de côté n + 1, le nombre de cubes unités ajouté vaut $(n+1{)}^3-n^3=3n^2+3n+1(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1$. La formule 3n² − 3n + 1 décrit plutôt le passage du côté n − 1 au côté n. Mélanger ces deux indexations décale toute la suite.

Portée du cas des polygones réguliers. L'affirmation limitée au carré et au triangle équilatéral suppose la construction polygonale visée par la source. Une différence quelconque entre deux figures semblables relève d'un cadre plus large ; il faut préciser la classe de figures et la règle d'assemblage avant d'appliquer cette restriction.

Le carré parfait prolonge l'interprétation arithmétique : il relie les couches impaires à un entier écrit comme le carré d'un autre entier.

Le gnomon - instrument - permet d'explorer l'autre sens historique du mot et de comprendre pourquoi le contexte, géométrie ou cadran solaire, est décisif.