quadrature graphique

Une forme dessinée sur une feuille peut avoir une frontière trop irrégulière pour que l'on applique directement une formule connue. La quadrature graphique donne alors une aire approchée en la comparant à des unités visibles : des carreaux, des bandes ou une masse de papier de référence. Elle transforme ainsi une surface difficile à calculer en une quantité que l'on peut compter, mesurer ou peser.

Le résultat dépend de la précision du dessin et de la méthode. Avec un quadrillage, les carreaux entièrement contenus sont comptés et les carreaux coupés par le bord sont estimés ; un quadrillage plus fin réduit généralement cette incertitude.

La quadrature graphique est une famille de procédés qui évaluent l'aire d'une surface à partir de sa représentation, plutôt que par une formule exacte adaptée à une figure élémentaire. Si une feuille quadrillée porte des carreaux de côté $uu$, l'aire d'un carreau vaut $u^{2}u^2$. Le comptage, complété par une estimation des fractions de carreaux au bord, fournit une approximation de l'aire lorsque l'échelle du dessin est connue.

Les autres procédés changent la représentation de référence. Le découpage en bandes régulières ramène la surface à des largeurs et des ordonnées mesurables ; la pesée compare la masse de la découpe à celle d'un morceau de même matériau dont l'aire est connue. Les planimètres et les intégraphes mécanisent ensuite certaines intégrations le long d'un contour, avec une lecture dépendante du réglage et de la précision de l'instrument.

Dans tous les cas, la grandeur recherchée est une aire, donc une grandeur bidimensionnelle exprimée dans une unité au carré. Une méthode graphique ne transforme pas automatiquement une estimation en valeur exacte : l'exactitude n'est obtenue que si la géométrie et le procédé autorisent un calcul exact, ce qui est exceptionnel pour une frontière tracée ou mesurée.

On rencontre la quadrature graphique lorsqu'une surface apparaît sur un plan, une carte, un relevé ou un dessin d'ingénieur et que son contour ne se prête pas à une formule simple. Elle a notamment servi avant la généralisation des calculateurs, quand le calcul d'une aire devait rester praticable sur le terrain ou dans un atelier.

Le support peut être une feuille quadrillée transparente, une courbe accompagnée de bandes mesurées, une découpe de papier ou un contour suivi par un instrument. Le choix dépend de la forme, de l'échelle disponible et de la précision recherchée.

Pour lire une mesure sur un quadrillage, il faut d'abord connaître l'échelle : un carreau de côté 1 cm représente alors une aire de 1 cm² dans la représentation, mais l'aire réelle dépend du rapport entre le dessin et l'objet. On compte séparément les carreaux entiers et les morceaux coupés par la frontière, puis on regroupe les morceaux pour obtenir une estimation cohérente d'un carreau.

Avec des bandes parallèles de largeur $hh$, on relève la longueur de la surface dans chaque bande. Une bande de longueur $y_{i}y\_i$ contribue approximativement pour $h{y}_{i}h\; y\_i$ à l'aire ; la somme de ces contributions devient plus fiable lorsque les bandes sont assez fines et que le contour est correctement relevé.

Une lecture instrumentale demande en plus de suivre le contour dans le sens prévu, de régler l'échelle et de remettre à zéro l'appareil. Le nombre affiché n'a de sens qu'avec l'unité du dessin, le facteur de conversion et une indication de précision.

Considérons une surface dessinée sur une feuille où chaque carreau est un carré de 1 cm de côté. Le comptage donne 18 carreaux entièrement contenus dans le contour. Les morceaux situés sur le bord représentent ensemble environ 6 carreaux.

1. L'aire d'un carreau est $1{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}1\backslash ,\backslash mathrm\{cm\}^2$.
2. Le comptage donne $18+6=2418+6=24$ carreaux ; l'aire dessinée est donc estimée à $A_{\text{dessin}\acute{\text{e}}\text{e}}\approx 24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}A\_\{\backslash text\{dessinée\}\}\backslash approx24\backslash ,\backslash mathrm\{cm\}^2$.
3. Si le dessin est à l'échelle 1:2, chaque longueur réelle vaut deux fois la longueur dessinée ; le facteur d'aire est exactement $4=2^{2}4=2^2$. L'aire réelle est donc estimée à $A_{\text{r}\acute{\text{e}}\text{elle}}\approx 4\times 24\approx 96{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}A\_\{\backslash text\{réelle\}\}\backslash approx4\backslash times24\backslash approx96\backslash ,\backslash mathrm\{cm\}^2$.

Le résultat 24 cm² dans la représentation est une estimation : les six carreaux de bord n'ont pas été mesurés exactement. La conversion par le facteur 4 est exacte pour l'échelle 1:2, mais l'aire réelle ainsi estimée est d'environ 96 cm² : elle conserve l'incertitude du comptage initial.

Pour une forme irrégulière, un quadrillage fin est souvent le moyen le plus immédiat de contrôler l'ordre de grandeur d'une aire. Il est utile de refaire le comptage avec un quadrillage décalé ou plus fin : deux estimations proches inspirent davantage confiance qu'une seule lecture, sans constituer pour autant une preuve d'exactitude.

La méthode par découpe et pesée convient lorsque la surface peut être reproduite dans un matériau homogène et sec. Si la découpe de référence a une aire connue et une masse connue, le rapport des masses donne le rapport des aires, à condition que l'épaisseur et la densité soient les mêmes.

Quadrature graphique et quadrature exacte. La première produit généralement une valeur approchée à partir d'un tracé ou d'une mesure. La seconde cherche une construction ou un calcul exact de l'aire, par exemple pour transformer une figure donnée en un carré de même aire.

Quadrillage et pavage. Un quadrillage fournit des unités de comptage et des repères ; il ne recouvre pas nécessairement la surface par des carreaux entiers. Un pavage, lui, est une couverture complète du plan ou d'une région par des pièces qui ne se recouvrent pas.

Planimètre et quadrature graphique. La quadrature graphique est la démarche générale d'évaluation. Un planimètre est un instrument mécanique particulier qui peut réaliser cette évaluation en suivant un contour ; son usage ne rend pas la mesure indépendante de l'échelle, du réglage ou de la précision de lecture.

Le bord est la principale source d'incertitude. Dans un comptage par carreaux, une frontière qui traverse beaucoup de petits morceaux ne se résume pas toujours correctement à l'œil. La finesse du quadrillage réduit l'erreur de discrétisation, mais elle augmente le nombre de carreaux à compter et n'élimine pas une erreur d'échelle ou de tracé.

Une surface non plane ou trouée exige une convention. Il faut préciser si l'on mesure la projection plane, la surface totale ou seulement la région extérieure. Les trous, les îlots séparés et les frontières qui se recoupent ne doivent pas être assimilés sans précaution à une seule région pleine.

La pesée a ses propres hypothèses. Le papier doit avoir une épaisseur et une densité uniformes ; l'humidité, les découpes irrégulières et une balance insuffisamment sensible perturbent le rapport des masses. Une précision apparente en grammes ne garantit donc pas une précision comparable sur l'aire.

Le contour suivi doit être fermé et correctement orienté. Un instrument ou une méthode fondée sur un parcours ne mesure pas la même chose si le départ, l'arrivée, l'échelle ou le repère ne correspondent pas au protocole. Pour une frontière très sinueuse, le résultat doit être accompagné d'une estimation d'incertitude plutôt que présenté comme une égalité exacte.

La fiche planimètre présente l'instrument mécanique conçu pour mesurer l'aire d'une région en suivant son contour. Elle prolonge la quadrature graphique du comptage visuel vers une intégration réalisée par un mécanisme.

Le même principe se formalise en analyse : l'aire sous une courbe peut être approchée par des rectangles ou des bandes, puis reliée à une intégrale lorsque les hypothèses de régularité sont satisfaites. La quadrature graphique reste alors une représentation expérimentale d'un calcul que l'analyse peut définir avec davantage de précision.